Teoria Numeros C Ivorra Castillo

150 Capítulo 6. Cuerpos cuadráticos
Nos falta resolver el problema de la similitud de módulos en cuerpos imaginarios.
Una forma sencilla de abordarlo es en términos de formas cuadráticas. Las
formas que nos interesan son las definidas positivas. Sea, pues, ax 2 + bxy + cy 2
una forma definida positiva. Esto significa que a, c > 0yD = b 2 − 4ac < 0.
El cambio de variables x = y ′ , y = −x ′ intercambia los coeficientes a y c
mientras que cambia b por −b, luego nos permite pasar a una forma equivalente
en la que a ≤ c.
Por otra parte, el cambio x = x ′ ± y ′ , y = y ′ la convierte en
ax 2 +(b ± 2a)xy +(a ± b + c)y 2 ,
con lo que aplicando varias veces este cambio podemos pasar a una forma equivalente
en la que |b| ≤a. Con ello podemos perder la condición a ≤ c, pero
podemos repetir el proceso nuevamente, y tras un número finito de pasos (puesto
que cada vez el valor de a se hace menor) llegamos a una forma equivalente a
la primera que cumple simultáneamente |b| ≤a ≤ c. Más aún, si b = −a el
segundo cambio nos permite hacer b = a sin cambiar c, ysia = c entonces el
primer cambio nos permite obtener b ≥ 0. La definición y el teorema siguientes
recogen lo que hemos obtenido:
Definición 6.16 Una forma cuadrática definida positiva ax 2 + bxy + cy 2 está
reducida si cumple −a