Teoria Numeros C Ivorra Castillo

Capítulo I
Introducción a la teoría
algebraica de números
El interés del hombre por los números es tan antiguo como la civilización.
Son muchos los pueblos antiguos que se interesaron por los números bien por razones
prácticas inmediatas, bien por su relación con la astronomíayelcómputo
del tiempo o incluso asociados a la adivinación y el esoterismo. Entre todos
ellos destacan los griegos, que llegaron a desarrollar una teoría de números pura
guiada por criterios estrictamente matemáticos en el sentido moderno de la palabra.
Los griegos descubrieron las leyes básicas de la aritmética. Conocían la
división euclídea, los números primos, el cálculo del máximo común divisor y
el mínimo común múltiplo, etc. Quizá el lector crea que esto significa dominar
completamente los números naturales, pero no es así ni mucho menos. Lo que
hicieron los griegos al desarrollar la aritmética elemental fue simplemente descubrir
el lenguaje de los números, lo cual no equivale a entender lo que se lee en
ese lenguaje. Para entender lo que queremos decir consideraremos un ejemplo
tomado de la Aritmética de Diofanto.
1.1 Ternas pitagóricas
En el siglo III, Diofanto trató en su Aritmética el problema de encontrar
ternas de números naturales no nulos x, y, z tales que x 2 + y 2 = z 2 . Estas
ternas se llaman ternas pitagóricas, pues según el teorema de Pitágoras permiten
construir triángulos rectángulos con lados enteros. Los egipcios las usaban para
construir ángulos rectos en arquitectura. Entre los ejemplos más conocidos están
3 2 +4 2 =5 2 ,5 2 +12 2 =13 2 ,7 2 +24 2 =25 2 . ¿Cómo encontrarlas todas?
En primer lugar notamos que si (x, y, z) es una terna pitagórica, también lo
es (mx, my, mz) para cualquier número m y, recíprocamente, dada una terna
pitagórica (x, y, z), podemos dividir sus componentes por su m.c.d. para obtener
otra que cumpla además (x, y, z) = 1. Una terna cuyos elementos no
tengan divisores comunes se llama primitiva. Si encontramos un método para
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