Teoria Numeros C Ivorra Castillo

4.6. Cálculo de sistemas fundamentales de unidades 103
Esto nos da la base dual
α1 ∗ =
α2 ∗ =
α3 ∗ =
1
503
1
503
1
503
(179+28ξ − 3 ξ + ξ2
2
(28+10ξ − 37 ξ + ξ2
2
(−3 − 37 ξ − 14 ξ + ξ2
2
)
,
)
,
)
.
Sustituimos ξ por aproximaciones complejas de los tres conjugados de ξ (están
dadas en el capítulo anterior) y calculamos el mayor módulo de los números
obtenidos. Éste resulta ser A =0′ 42 (redondeado hacia arriba).
Si enumeramos los enteros de K y buscamos los de norma 1, el primero que
encontramos (aparte de ±1) es la unidad
ɛ =13+10ξ +6 ξ + ξ2
.
2
Su representación logarítmica es
l(ɛ) = (log |ɛ(ξ 1 )|, log |ɛ(ξ 2 )| 2 )=(−7 ′ 02735, 7 ′ 02735),
cuya norma es menor que 9 ′ 94, luego si ɛ no fuera una unidad fundamental de
K habría otra unidad cuya representación logarítmica tendría norma menor que
9 ′ 94/2, y sus coordenadas en la base entera que estamos considerando estarían
acotadas por A(e 9′ 94/2 +2e 9′ 94/4 ) < 71. Si comprobamos todos los enteros cuyas
coordenadas son menores o iguales que 70 en módulo, veremos que no hay más
unidades, luego ɛ es una unidad fundamental y el regulador es R =7 ′ 02735.
Ejercicio: Comprobar que 1 − 6 3√ 6+3 3√ 36 es una unidad fundamental de Q ( 3 √ 6 ) .
Ejemplo Vamos a calcular un sistema fundamental de unidades del cuerpo
ciclotómico séptimo. Para este cuerpo se cumple s =0,t = 3, luego el sistema
consta de dos unidades.
En primer lugar probaremos un resultado general nos reducirá a la mitad el
grado del cuerpo a estudiar.
Teorema 4.27 (Lema de Kummer) Si Q(ω) es el cuerpo ciclotómico de orden
p, entonces toda unidad de Z[ω] es el producto de una unidad real por una
potencia de ω.
Demostración: Sea ɛ = r(ω) una unidad de Z[ω]. Su conjugado complejo
es ¯ɛ = r(ω −1 )=r(ω p−1 ), que también es una unidad. Consideremos la unidad
µ = ɛ/¯ɛ ∈ Z[ω].
Todo conjugado de µ es de la forma σ(µ) =r(ω k )/r(ω −k ). Como el denominador
es el conjugado (complejo) del numerador, concluimos que |σ(µ)| =1.