Teoria Numeros C Ivorra Castillo

122 Capítulo 5. Fracciones continuas
es un cuadrado perfecto, una solución entera (x, y) de la ecuación de Pell se
corresponde con una unidad x + y √ d del orden Z [√ d ] .
En el caso en que d0 entonces hay infinitas soluciones (x, y), que son de la forma
x + y √ d = ± ( u + v √ d ) n
, para n ∈ Z,
donde u + v √ d es la unidad fundamental del orden Z [√ d ] . La solución (u, v)
se llama solución fundamental.
Finalmente si d = k 2 entonces la ecuación factoriza como (x+ky)(x−ky) =1,
lo que implica x + ky = x − ky = 1, o bien x + ky = x − ky = −1, lo que lleva
a las soluciones triviales (±1, 0) (salvo si d = 0, en cuyo caso (±1,y) es siempre
solución).
Según los cálculos anteriores, la solución fundamental, o sea, la mínima
solución no trivial, de la ecuación x 2 − 54y 2 = 1 es (485, 66).
Si O es el orden maximal de un cuerpo cuadrático real K y ɛ es su unidad
fundamental, es fácil comprobar que la unidad fundamental de un orden cualquiera
O m es ɛ k , donde k es el menor número natural no nulo tal que ɛ k ∈ O m .
De aquí se deduce que el índice e m del grupo de unidades de O m en el grupo de
unidades de O es precisamente k. Recordemos que dicho índice interviene en la
fórmula del teorema 4.18 para el cálculo del número de clases de los órdenes no
maximales.
Ejemplo Sea K = Q (√ 2 ) .Esfácil comprobar que la unidad fundamental de
K es ɛ =1+ √ 2 y que su número de clases es h =1. Sim =2 s t, donde t es
impar y ɛ m = a + b √ 2, entonces la potencia de 2 que divide a b es exactamente
2 s (se prueba sin dificultad por inducción sobre s). Consecuentemente, e 2 s =2 s .
Por otra parte, 2 = p 2 en K, donde p es un ideal de norma 2. Por lo tanto,
la fórmula de 4.18 nos da que el número de clases de O 2 s es
h 2 s = Φ(p2k )
φ(2 k h = 22k−1
)e 2 s 2 k−1 2 k =1.
Ejercicio: Sea K = Q (√ 5 ) . Probar que el número de clases de O 5 k es1yelnúmero
de clases de O 2 k es 2, para k ≥ 3.
5.5 La fracción continua de e
Ya que hemos desarrollado la teoría básica sobre fracciones continuas, dedicamos
esta sección a ilustrar algunos resultados más avanzados. Nuestro objetivo
será obtener el desarrollo en fracción continua del número e, que es
e =[2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8,... ]