Teoria Numeros C Ivorra Castillo

Capítulo XII
Sumas de Gauss
Las sumas de Gauss nos han aparecido en el capítulo anterior al evaluar
las funciones L, pero lo cierto es que estas sumas ya habían sido estudiadas
mucho antes de que Kummer y Dirichlet se las encontraran como nosotros nos
las hemos encontrado. Como su nombre indica, estas sumas fueron introducidas
por Gauss, quien obtuvo importantes resultados sobre y mediante ellas.
En este capítulo trataremos de explicar el motivo de su interésyasí mismo
obtendremos los resultados que necesitamos para acabar de perfilar el análisis
de las funciones L.
12.1 Propiedades básicas
En primer lugar recordamos la definición de las sumas de Gauss:
Definición 12.1 Sea m un número natural y a un número entero, sea χ un
carácter módulo m y ω = cos(2π/m) +i sen(2π/m). Se llama suma de Gauss
de χ a la expresión
G a (χ) = ∑ χ(r)ω ar ,
r
donde r recorre un conjunto completo de representantes de las clases de U m .
En el capítulo anterior probamos además que si χ es un carácter primitivo
entonces
G a (χ) =χ(a)G(χ), (12.1)
donde G(χ) =G 1 (χ), luego podemos limitarnos a estudiar esta suma, que recibe
el nombre de suma principal.
Ejemplo
Consideremos el carácter χ módulo 5 dado por
Vamos a calcular G(χ).
χ(1) = 1, χ(2) = i, χ(3) = −i, χ(4) = −1.
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