Teoria Numeros C Ivorra Castillo

160 Capítulo 7. Números p-ádicos
|β| ≠1ysiesnecesario tomamos su inverso), con lo que los radios |β n | son
arbitrariamente pequeños. La propiedad 3) implica entonces que las topologías
inducidas por los dos valores absolutos tienen una misma base.
4) ⇒ 2) es evidente. Sólo falta demostrar 4) a partir de las propiedades
anteriores.
Si ambos valores absolutos son el trivial no hay nada que probar. Supongamos
que el primero no es trivial, con lo que existe un α ∈ K no nulo tal
que |α| 1 < 1. Sea β cualquier elemento no nulo de K que cumpla |β| 1 < 1.
Un par de números naturales (m, n) cumple |α m | 1 < |β n | 1 siysólo si cumple
|α m | 2 < |β n | 2 . Pero |α m | 1 < |β n | 1 equivale a |α| m 1 < |β| n 1 ,yasuvezaque
log |α| 1
log |β| 1
> n m .
Como lo mismo vale para | | 2 concluimos que todo número racional r cumple
r> log |α| 1
log |β| 1
si y sólo si r> log |α| 2
log |β| 2
,
La densidad de Q en R implica que los cocientes de logaritmos son iguales, luego
para todo β ∈ K con |β| 1 < 1 se cumple
ρ = log |α| 1
log |α| 2
= log |β| 1
log |β| 2
,
donde ρ es una constante positiva, ya que |α| 1 < 1 implica que |α| 2 < 1. De
aquí se sigue que |β| 1 = |β| ρ 2 para todo β de K con |β| 1 < 1. Tomando inversos
también vale si |β| 1 > 1, pero la equivalencia implica que si |β| 1 = 1 también
|β| 2 = 1, luego también se cumple la igualdad.
Es importante notar que la propiedad 4 del teorema anterior no afirma que
si | | es un valor absoluto en un cuerpo K y ρ>0 entonces | | ρ sea un valor
absoluto equivalente. Lo será si de hecho es un valor absoluto, pero puede no
serlo. Las propiedades 1) y 3) de la definición se cumplen sin duda, pero la 2)
puede fallar. A este respecto es útil el resultado siguiente:
Teorema 7.3 Si | | es un valor absoluto en un cuerpo K y 0 0, entonces
|α + β| ρ = |α| ρ |1+β/α| ρ ≤|α| ρ ( 1+|β/α| ) ρ
≤ |α| ρ ( 1+|β/α| ) ≤|α| ρ ( 1+|β/α| ρ) = |α| ρ + |β| ρ .