Teoria Numeros C Ivorra Castillo

5.4. Unidades de cuerpos cuadráticos 121
Hemos concluido que la unidad fundamental de O m es ɛ = x + ymω con
x, y > 0 salvo si d =5,m = 1. En tal caso no es difícil comprobar que la unidad
fundamental es ω (o sea, x =0,y = 1).
Ahora es fácil ver que ɛ n = x ′ + y ′ mω, con x ′ >xe y ′ >y. Por lo tanto la
unidad fundamental está caracterizada por que es de la forma ɛ = x + ymω con
x, y > 0mínimos entre los coeficientes de las unidades (salvo el caso exceptuado).
Puesto que N(ɛ) =(x + ymω)(x + ym¯ω) =±1, resulta
∣ x ∣∣∣
∣ y + m¯ω 1
=
y(x + ymω) .
En el caso d ≡ 1 (mód 4) (salvo el caso exceptuado)
√ ( (
x d − 1
√ )) −1 ∣ y − m 2 ∣ = y 2 x d +1
y + m < 1
2
2y 2 ,
pues m √ d+1
2
> 2. En el caso restante,
x
∣ y − m√ d
∣ = 1
y ( x + ym √ d ) ≤ 1
y 2(√ d − 1+ √ d ) < 1
2y 2 ,
donde hemos usado que N(ɛ) =x 2 −y 2 m 2 d = ±1, luego x 2 ≥ dy 2 −1 ≥ y 2 (d−1),
y en consecuencia x ≥ y √ d − 1.
En cualquier caso (salvo el exceptuado) llegamos a que
∣ x ∣∣∣
∣ y − (−m¯ω) < 1
2y 2 ,
lo que por el teorema 5.7 significa que x/y es uno de los convergentes de −m¯ω
(notemos que (x, y) = 1, o de lo contrario ɛ no podría tener norma unitaria).
Como el numerador y el denominador de los convergentes crece, tenemos
que el convergente x/y correspondiente a la unidad fundamental será el primero
que cumpla que la norma del entero asociado sea ±1.
Ejemplo Vamos a calcular la unidad fundamental del orden Z [√ 54 ] , es decir,
el orden O 3 de Q (√ 6 ) . Hemos de calcular los convergentes de √ 54. Para ello
hallamos el desarrollo √ 54 = [7, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 4] y mediante las fórmulas del
teorema 5.2 calculamos
a n 7 2 1 6 1 2 1
p n 7 15 22 147 169 485 ···
q n 1 2 3 20 23 66 ···
p 2 n − 54qn 2 −8 9 −2 9 −5 1 ···
Con lo que la unidad fundamental buscada es 485 + 66 √ 54.
Este método tiene su origen en un algoritmo para resolver la llamada ecuación
de Pell, que no es sino la ecuación diofántica x 2 − dy 2 = 1. Si d no