Teoria Numeros C Ivorra Castillo

196 Capítulo 8. El teorema de Hasse-Minkowski
referencia a los números reales. En esta misma línea, llamaremos Q ∞ = R y
representaremos por | | ∞ al valor absoluto usual en R. Enlapráctica esto
nos permitirá englobar a R y los cuerpos p-ádicos bajo la expresión común Q p ,
si entendemos que p recorre los números primos incluyendo p = ∞. Como
acabamos de decir, existe una base teórica para hablar de un ‘primo infinito’
en Q en estrecha analogía con los primos finitos usuales, pero no estamos en
condiciones de entrar en ello.
8.4 El teorema de Hasse-Minkowski
Por fin estamos en condiciones de abordar el teorema central de este capítulo:
Teorema 8.30 (Teorema de Hasse-Minkowski) Una forma cuadrática con
coeficientes racionales representa 0 en Q siysólo si representa 0 en todos los
cuerpos Q p , para todo primo p, incluido p = ∞.
Aplicando el teorema 8.5 tenemos la siguiente consecuencia inmediata:
Teorema 8.31 Una forma cuadrática con coeficientes racionales representa a
un número racional r en Q si y sólo si representa a r en todos los cuerpos Q p ,
para todo primo p, incluido p = ∞.
Así pues, el problema de si un número racional está representado en Q por
una forma cuadrática se reduce al mismo problema sobre los cuerpos p-ádicos,
donde la solución es mucho más sencilla gracias esencialmente a la completitud.
De hecho los problemas de representación de números por formas cuadráticas
en cuerpos p-ádicos pueden resolverse sistemáticamente. Nosotros sólo hemos
expuesto la teoría completa para formas binarias, pero se pueden dar resultados
generales. Un ataque directo del problema en Q es inviable en general y termina
siempre en comprobaciones laboriosas en cada caso particular.
Pero aparte del interés del teorema de Hasse-Minkowski para la teoría de
ecuaciones diofánticas, podemos ver en él un indicio de un principio alrededor
del cual gira la teoría algebraica de números moderna. Vagamente puede ser
enunciado como sigue: Los resultados ‘globales’, referentes a la aritmética de Q
o de cualquier cuerpo numérico pueden descomponerse en resultados análogos
‘locales’ en torno a las compleciones del cuerpo respecto todos sus primos (y
aquí hay que incluir ciertos ‘primos infinitos’ asociados a valores absolutos arquimedianos),
de tal forma que la totalidad de los resultados locales equivale
al correspondiente resultado global. Este principio de localización, conjeturado
por Hensel y puesto de manifiesto por Hasse, se aplica igualmente al cálculo
de discriminantes, a la determinación de las descomposiciones en primos y al
trabajo con muchos conceptos adicionales de la teoría de números que nosotros
no tocaremos. Añadamos tan sólo que Hensel descubrió los números p-ádicos
mientras investigaba los exponentes de los primos que dividen al discriminante
de un cuerpo numérico y, efectivamente, este problema puede reducirse a estudiar
los discriminantes de extensiones locales asociadas, cada uno de los cuales
es divisible únicamente entre un primo.