Teoria Numeros C Ivorra Castillo

138 Capítulo 6. Cuerpos cuadráticos
Como consecuencia, si recorremos las bases orientadas de un módulo M,
las formas asociadas recorren una clase de equivalencia estricta. A módulos
estrictamente similares les corresponde la misma clase de equivalencia estricta
de formas.
Tenemos, pues, una correspondencia que a cada clase de equivalencia estricta
de módulos le asigna una clase de equivalencia estricta de formas (las
asociadas a las bases orientadas de los módulos de la clase). Esta correspondencia
sigue siendo suprayectiva (considerando sólo formas primitivas no definidas
negativas), pues si a una forma f(x, y) le corresponde una base (α, β) yésta no
está orientada, podemos tomar la base (ᾱ, ¯β), que da la misma forma y sí está
orientada.
Vamos a ver que también es inyectiva. Sean M y M ′ dos módulos que
tengan asignada la misma clase de formas. Escogiendo adecuadamente las bases
podemos suponer que M = 〈α, β〉, M ′ = 〈α ′ ,β ′ 〉 y que la forma asociada a ambas
bases es la misma.
En la prueba del teorema 6.3 hemos visto que N(α) tiene el mismo signo
que el coeficiente de x 2 y lo mismo vale para la otra, luego N(α) yN(α ′ ) tienen
el mismo signo. Por consiguiente las bases (1,β/α)y(1,β ′ /α ′ ) están ambas
orientadas o ninguna lo está, según el signo de N(α). Pero sabemos que
β/α y β ′ /α ′ son iguales o conjugados, y no pueden ser conjugados porque la
conjugación invierte la orientación, así que son iguales. De aquí se sigue que
M = α 〈1,β/α〉 = α 〈1,β ′ /α ′ 〉 (α/α ′ )M ′ , luego M y M ′ son estrictamente similares.
Vamos a reflexionar sobre cómo las relaciones estrictas resuelven los problemas
que nos aparecían con las relaciones no estrictas. Consideremos primeramente
el caso de los cuerpo reales, donde la situación era peor. Dado un módulo
M podemos considerar las clases estrictas [M], [M], [−M] y−[M], donde M es
el módulo conjugado de M y −[M] representa a la clase de similitud estricta de
los módulos γM con N(γ) < 0.
Estas clases no son necesariamente distintas. Puede ocurrir que M = M (por
ejemplo si en un cuerpo cuadrático un primo factoriza como p = p 2 , entonces
M = p es su propio conjugado) y puede ocurrir [M] = −[M] (esto ocurre
exactamente cuando hay unidades de norma negativa). Por lo tanto tenemos
una, dos o cuatro clases estrictas.
Si a M le corresponde la forma f(x, y) =ax 2 + bxy + cy 2 , entonces a M
le corresponde f(y, x) (porque al conjugar se invierte la orientación y hay que
cambiar el orden de la base), mientras que, según hemos probado, a −M le corresponde
la forma −f(x, y). Por simple estética podemos transformar f(y, x)
mediante el cambio x = −y, y = x y considerar la forma estrictamente equivalente
ax 2 − bxy + cy 2 .Así, la biyección entre clases actúa como sigue:
[M] ←→ [ax 2 + bxy + cy 2 ]
[M] ←→ [ax 2 − bxy + cy 2 ]
−[M] ←→ [−ax 2 − bxy − cy 2 ]
−[M] ←→ [−ax 2 + bxy − cy 2 ].