Teoria Numeros C Ivorra Castillo

62 Capítulo 3. Factorización ideal
la inclusión Z[ζ] −→ O K /p i es suprayectiva, su núcleo contiene a q i y, como
éste es maximal, se da la igualdad, es decir, O K /p i
∼ = Z[ζ]/qi ∼ = (Z/pZ)(ζi ). En
particular, p i es un ideal primo de O K .
Aplicando que, en general, (p, u)(p, v) ⊂ (p, uv) concluimos que
p e1
1 ···per r ⊂ ( p, g 1 (ζ) e1 ···g r (ζ) er) = ( p, g(ζ) ) =(p, 0) = (p).
Notar que la primera igualdad se debe a que g(ζ) yg 1 (ζ) e1 ···g r (ζ) er se diferencian
en un entero múltiplo de p. Así pues, p | p e1
1 ···per r . La igualdad la
obtendremos considerando las normas.
Por definición de norma, N(p i )=|O K /p i | = ∣ ∣(Z/pZ)(ζ i ) ∣ = p grad gi . En
total
N(p e1
1 ···per r )=p e1 grad g1+···+er grad gr = p n ,
donde n es el grado de K. Así pues N(p e1
1 ···per r )=N(p), lo que nos da que
p = p e1
1 ···per r .
Los primos p i son distintos, pues si p i = p j (, entonces ) g j (ζ) ∈ p i , de donde se
sigue fácilmente que kg j (ζ) ∈ q i ,yasuvezḡ j [ζ] =0. Así pues, los polinomios
ḡ i yḡ j tienen la raíz [ζ] en común en Z[ζ]/q i , pero eso es imposible porque ambos
polinomios son irreducibles en Z/pZ[x], luego son primos entre sí.
Así tenemos un método práctico para factorizar cualquier primo de cualquier
cuerpo numérico salvo en un caso: salvo si un primo p divide a los índices de
todos los enteros de un cuerpo numérico K. Entonces se dice que p es un
divisor esencial de K. El ejemplo de Dedekind Q(ξ) que estudiamos en el
capítulo anterior es precisamente un ejemplo de cuerpo con un divisor esencial:
el 2, según se ve en la expresión para el índice de un entero arbitrario que allí
obtuvimos:
índ
(x + yξ+ z ξ + )
ξ2
= |2y 3 +2z 3 − yz 2 + zy 2 |.
2
Ésta es la razón por la que es famoso el ejemplo de Dedekind. Existen métodos
para determinar las descomposiciones en primos de los divisores esenciales, pero
no entraremos en ello. En la sección siguiente hallaremos la factorización del 2
para el caso particular del ejemplo de Dedekind.
Ejemplo Volvamos a obtener las factorizaciones de 2 y 3 en el anillo Z [√ −5 ] .
En primer lugar, pol mín √ −5=x 2 + 5. Su imagen en el cuerpo (Z/2Z)[x]
es x 2 +1=(x +1) 2 , luego 2 factoriza como 2 = ( 2, 1+ √ −5 ) 2
.
La imagen en (Z/3Z)[x] esx 2 +2=x 2 − 1=(x + 1)(x − 1), lo que nos da
la factorización 3 = ( 3, 1+ √ −5 )( 3, −1+ √ −5 ) = ( 3, 1+ √ −5 )( 3, 1 − √ −5 ) .
El teorema 3.16 puede refinarse cuando se aplica a extensiones de Galois
de Q. Ello se debe esencialmente a que los automorfismos obligan a que las
factorizaciones presenten un alto grado de simetría. En efecto, ante todo, si K