Teoria Numeros C Ivorra Castillo

242 Capítulo 9. La teoría de los géneros
Tomando congruencias módulo 9, 5, 49, 121, 13, 17, 19 y 23 descartamos
todos los casos excepto −43 + 3 · 462, −155 + 6 · 462 y 197. Los dos primeros
pueden descartarse directamente, despejando y 2 de (9.10) y comprobando que
el número que obtenemos no es realmente un cuadrado.
9.6 Grupos de clases y unidades
Dos de los invariantes más caóticos en la teoría de cuerpos cuadráticos son
el número de clases y, en el caso de los cuerpos reales, el signo de la unidad
fundamental. A su vez éste último interviene en la relación entre la similitud
estricta y la no estricta y por lo tanto en la relación entre el número h ′ de clases
estrictas y el número h de clases no estrictas. La teoría de los géneros aporta
algunos datos sobre ambos invariantes. El teorema siguiente nos muestra un
ejemplo sencillo:
Teorema 9.34 Si K es un cuerpo cuadrático real y su discriminante es divisible
entre un primo p ≡−1 (mód 4), entonces la unidad fundamental de K cumple
N(ɛ) =1.
Demostración: Por el teorema 9.9, χ p (−1) = (−1/p) =−1, luego la clase
de similitud estricta −1 no coincide con la clase 1, es decir, los ideales generados
por elementos de norma negativa no son estrictamente similares a los generados
por elementos de norma positiva, aunque evidentemente sí son similares. Según
vimos en el capítulo VI, la similitud estricta difiere de la no estricta sólo si la
unidad fundamental tiene norma positiva.
Una forma concisa de expresar la hipótesis del teorema es ∆ K ≠ x 2 + y 2 .
Ahora estamos en condiciones de precisar la relación entre la similitud estricta
y la no estricta en un cuerpo cuadrático real. Más en general, conviene clasificar
los cuerpos cuadráticos en los cuatro tipos siguientes:
Tabla 9.3: Clasificación de los cuerpos cuadráticos
Tipo Discriminante χ p (−1) N(ɛ) h ′ H ′
I ∆ K < 0 — — h H ′ = H
II ∆ K = x 2 + y 2 Todos + 1 −1 h H ′ = H
III 0 < ∆ K ≠ x 2 + y 2 Alguno − 1 +1 2h H ′ ∼ = H ×{±1}
IV ∆ K = x 2 + y 2 Todos + 1 +1 2h H ′ ≁ = H ×{±1}
Los cuerpos cuadráticos de tipo I son los cuerpos imaginarios. Los de tipo
II son los cuerpos reales cuya unidad fundamental tiene norma negativa. Acabamos
de ver que esto implica que ∆ K = x 2 + y 2 o, equivalentemente, que