Teoria Numeros C Ivorra Castillo

8.3. Formas binarias en cuerpos p-ádicos 193
Si sabemos calcular símbolos de Hilbert, estamos en condiciones de determinar
si cualquier forma cuadrática binaria representa o no a un número p-ádico
dado. El cálculo del símbolo de Hilbert es muy sencillo a partir de las propiedades
que recogemos en el teorema siguiente.
Teorema 8.25 Sea p un número primo, sean α, β, α ′ , β ′ números p-ádicos no
nulos y sean ɛ, η unidades p-ádicas. Entonces
1. (α, β) p =(β,α) p .
2. (α, ββ ′ ) p =(α, β) p (α, β ′ ) p , (αα ′ ,β) p =(α, β) p (α ′ ,β) p .
3.Siα o β es un cuadrado en Q p entonces (α, β) p =1.
4. (α, −α) p =1, (α, α) p =(α, −1) p .
5. Si p ≠2entonces (p, ɛ) p =(ɛ/p) (símbolo de Legendre), (ɛ, η) p =1.
6. (2,ɛ) 2 =1si y sólo si ɛ ≡±1(mód 8),
(ɛ, η) 2 =1si y sólo si ɛ ≡ 1 (mód 4) o bien η ≡ 1 (mód 4).
Demostración: 1) Es inmediato.
2) Por la observación previa a la definición anterior: el símbolo de Hilbert
para un α fijo y como función de β es el homomorfismo de Q ∗ p en {±1} con
núcleo N α .
3) Si α = γ 2 entonces (α, β) p =(γ,β) 2 p =1.
4) La ecuación αx 2 − αy 2 − z 2 = 0 tiene solución (1, 1, 0).
Por2)1=(α, −α) p =(α, α) p (α, −1) p , luego (α, α) p =(α, −1) p .
5) Por el teorema 8.14, la forma px 2 + ɛy 2 − z 2 representa 0 si y sólo si la
forma ɛy 2 − z 2 representa 0, lo cual sucede si y sólo si ɛ es un cuadrado.
Por el teorema 8.22, la forma ɛx 2 + ηy 2 − z 2 siempre representa 0.
6) En la tabla construida en la prueba del teorema 8.23 vemos que la forma
2ɛx 2 + ηy 2 − z 2 representa 0 si y sólo si 2ɛ + η ≡ 1 (mód 8) o η ≡ 1(mód 8).
En particular, para ɛ = 1 tenemos que 2x 2 + ηy 2 − z 2 representa 0 si y sólo si
η ≡±1 (mód 8).
También allí hemos probado que la forma ɛx 2 + ηy 2 − z 2 representa 0 si y
sólo si ɛ ≡ 1 (mód 4) o bien η ≡ 1 (mód 4).
Notar que una consecuencia de 2) y 3) es que
(α −1 ,β) p =(α, β) p (α, β −1 ) p =(α, β) p .
Para calcular un símbolo de Hilbert arbitrario (p k ɛ, p l η) p usando el teorema
anterior, en primer lugar 1) y 2) y 3) nos lo reducen a los casos (ɛ, η) p ,(pɛ, η) p ,
(p, p) p . El último caso se reduce a los anteriores por 4) y éstos se resuelven
mediante 5) y 6).