Teoria Numeros C Ivorra Castillo

Capítulo VII
Números p-ádicos
En su trabajo sobre el último teorema de Fermat, en un momento dado Kummer
se encontró con una ecuación entre enteros ciclotómicos donde las incógnitas
estaban en los exponentes. Si se hubiera tratado de una ecuación ordinaria, lo
natural hubiera sido tomar logaritmos, de forma que se volviera lineal, pero esto
no tenía sentido en el caso que le ocupaba. Sin embargo Kummer encontró un
artificio de cálculo que le dio un resultado similar. Básicamente se trataba de
considerar las derivadas logarítmicas de ciertos polinomios mínimos. En ésta y
otras ocasiones, Kummer había estado rozando un concepto muy profundo. Todos
sus cálculos se expresan de forma clara y natural en términos de los números
p-ádicos, descubiertos más tarde por Kurt Hensel. A partir del trabajo de Helmut
Hasse, alumno de Hensel, los números p-ádicos se situaron en el núcleo de
la teoría algebraica de números del siglo XX. Nosotros no entraremos a explicar
el porqué de su importancia a niveles más avanzados. Puesto que los vamos a
necesitar más adelante para exponer razonablemente los resultados de Kummer
sobre el último teorema de Fermat, los introducimos ahora y así aprovechamos
la ocasión para dar un enfoque moderno y elegante de la parte de la teoría de
Gauss sobre formas cuadráticas que todavía nos queda por estudiar.
Los números p-ádicos presentan características comunes con los números
reales y los números racionales. Trataremos de motivar su definición mediante
un ejemplo. Consideremos la igualdad x 2 = 2. No existe ningún número racional
que cumpla esta ecuación, pero podemos encontrar aproximaciones racionales
todo lo precisas que queramos:
1
1, 4
1, 41
1, 414
......
Ahora fijamos un número primo, por ejemplo p = 7, y vamos a buscar
aproximaciones enteras “módulo 7”. Las soluciones de x 2 ≡ 2 (mód 7) son
x 0 = ±3. Quedémonos de momento con x 0 = 3. El cuadrado de 3 no es 2,
pero “se parece” a 2 en el sentido de que 9 y 2 son congruentes módulo 7.
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