Teoria Numeros C Ivorra Castillo

4.7. Cálculo del número de clases 109
En realidad nos falta algo para poder realizar en la práctica estos cálculos,
y es que en los algoritmos que hemos visto hasta ahora siempre hemos supuesto
que conocida una base de los módulos que hemos manejado. Esto es cierto en
general, excepto cuando el módulo es un ideal, en cuyo caso es frecuente que lo
que conozcamos sea un generador como ideal y no una base como módulo. En
lugar de describir en general el método para calcular bases (que sería engorroso)
lo mostraremos con un ejemplo ilustrativo: Calcularemos una base del ideal
generado por ω 3 + ω + 1 en el anillo de enteros ciclotómicos de orden 7.
Un elemento arbitrario de este ideal es de la forma
(aω 5 + bω 4 + cω 3 + dω 2 + eω + f)(ω 3 + ω +1)=(b − c + d)ω 5 +(−a + b + e)ω 4
+(−a + d + f)ω 3 +(−a − c + d + e)ω 2 +(−c + e + f)ω +(−a + b − c + f).
Como sólo nos interesa la estructura de módulo conviene escribir simplemente
(b − c + d, −a + b + e, −a + d + f,−a − c + d + e, −c + e + f,−a + b − c + f).
Si el ideal tuviera dos generadores llegaríamos a una expresión similar pero con
el doble número de parámetros. Llamemos M ⊂ Z 6 a este módulo. Podemos
llegar a una expresión similar si partimos de un módulo dado por un conjunto
de generadores.
Igualamos a 0 la primera componente b − c + d = 0, con lo que b = c − d. Si
sustituimos llegamos a la expresión general de un elemento del módulo M 2 =
M ∩ (0 × Z × Z × Z × Z × Z), que es
(0, −a + c − d + e, −a + d + f,−a − c + d + e, −c + e + f,−a − d + f).
Restando ambas expresiones obtenemos (b − c + d, b − c + d, 0, 0, 0,b− c + d),
luego si llamamos v 1 =(1, 1, 0, 0, 0, 1) ∈ M, tenemos que M = 〈v 1 〉 + M 2 .
Igualamos a0lasegunda componente de la expresión general de un elemento
de M 2 y obtenemos a = c − d + e. Sustituyendo obtenemos una expresión de un
elemento genérico de M 3 = M ∩ (0 × 0 × Z × Z × Z × Z), que es
Al restar queda
(0, 0, −c +2d − e + f,−2c +2d, −c + e + f,−c − e + f).
(0, −a + c − d + e, −a + c − d + e, −a + c − d + e, 0, −a − c − d + e),
luego llamando v 2 =(0, 1, 1, 1, 0, 1) ∈ M 2 resulta que M = 〈v 1 ,v 2 〉 + M 3 .
Ahora c =2d − e + f, la expresión de un elemento de M 4 es
y al restar queda
(0, 0, 0, −2d +2e − 2f,−2d +2e, −2d),
(0, 0, −c +2d − e + f,−2c +4d − 2e +2f,−c +2d − e + f,−c +2d − e + f),
luego haciendo v 3 =(0, 0, 1, 2, 1, 1) ∈ M 3 llegamos a que M = 〈v 1 ,v 2 ,v 3 〉 + M 4 .