Teoria Numeros C Ivorra Castillo

74 Capítulo 3. Factorización ideal
1. I m (O ′ ) ⊂ I f (O ′ ).
2. I m (O ′ ) es el conjunto de los ideales a de O ′ tales que (N(a),m)=1.
3. Todos los ideales de I m (O ′ ) tienen anillo de coeficientes O ′ .
4. La biyección del teorema anterior hace corresponder I m (O ′ ) con I m (O) y
conserva normas.
Demostración: Por I m (O ′ ) entendemos el conjunto de ideales a de O ′ tales
que a + mO ′ = O ′ (es importante distinguir entre el ideal generado por m en O ′
yenO). La propiedad 1) es evidente. Para probar 2) consideramos un ideal a
de O ′ tal que a +(m) =O ′ . Sea O ′′ su anillo de coeficientes. Entonces m es una
unidad de O ′′ /a. Si existiera un primo p que dividiera a N(a) yam, entonces
p también sería una unidad de O ′′ /a, pero por otra parte es un divisor de cero.
Así pues, (N(a),m) = 1. La otra implicación es clara, teniendo en cuenta que
N(a) ∈ a.
3) Sea a es un ideal de O ′ tal que (N(a),m) = 1 y sea O ′′ a su anillo de
coeficientes. Tenemos que a ⊂ O ′ ⊂ O ′′ ⊂ O. Llamemos k = |O ′′ : O ′ |. Entonces
k divide a N(a) =|O ′′ : a| yam = |O : O ′ |, luego k = 1 y en consecuencia
O ′′ = O ′ .
4) El isomorfismo (3.4) implica que la correspondencia i envía ideales de
I m (O ′ ) a ideales de I m (O), así como que conserva normas. Sólo falta añadir que
todo ideal de I m (O) tiene su antiimagen en I m (O ′ ). Basta probarlo para ideales
primos, ahora bien, si p es un primo de norma prima con m, entonces la norma
de p∩O ′ es potencia del único primo que contiene, que es el mismo que contiene
p, luego no divide a m.
En general no es fácil determinar el conductor de un orden numérico, pero el
teorema anterior nos determina un conjunto suficientemente grande de ideales
en el que tenemos asegurada la factorización única. Para los cuerpos cuadráticos
esto no supone ninguna restricción:
Teorema 3.29 Sea K = Q (√ d ) un cuerpo cuadrático y m un número natural
no nulo. Entonces el conductor del orden O m definido en 2.24 es f = mO.
Demostración: Según la definición de O m es obvio que O m ⊂ Z +(m).
Teniendo en cuenta además que (m) ⊂ f vemos que
f = f ∩ ( Z +(m) ) ⊂ (f ∩ Z)+(m) =(m)+(m) =(m).
Hemos usado que si u ∈ f ∩ Z entonces uO ⊂ O m (por definición de f), y esto
sólo es posible si m | u.
Así, los teoremas 3.27 y 3.28 muestran que, en un cuerpo cuadrático, los
ideales de I m (O) se corresponden con los ideales de I f (O m ) y también con los de
I m (O m ), luego ambos conjuntos —que en principio son distintos— coinciden.
Concluimos, pues, que en el orden O m tenemos factorización única exactamente
en el conjunto I m (O m ) de los ideales de norma prima con m.