Teoria Numeros C Ivorra Castillo

8.3. Formas binarias en cuerpos p-ádicos 191
Demostración: Supongamos primero que p ≠ 2. Veamos que N α ≠ Q ∗2
p .
En efecto, como −α ∈ N α , esto es cierto si −α no es un cuadrado. Si lo es
entonces la forma x 2 − αy 2 es equivalente a x 2 + y 2 , y por el teorema 8.5 esta
forma representa a toda unidad ɛ (incluyendo a las que no son cuadrados), pues
según el teorema 8.22 la forma x 2 + y 2 − ɛz 2 representa 0. Por lo tanto N α
contiene a todas las unidades y en consecuencia N α ≠ Q ∗2
p .
Ahora probamos que N α ≠ Q ∗ p. Sea ɛ una unidad que no es un cuadrado.
Hemos de probar que la forma αx 2 + βy 2 − z 2 no representa a 0 para todo
valor de β, ahora bien, si multiplicamos α por un cuadrado no nulo, la forma
resultante representa 0 en los mismos casos, luego podemos suponer que α es ɛ,
p o pɛ (por la prueba del teorema 8.11). Ahora bien, si α = ɛ y β = p osiα = p,
pɛ y β = ɛ, el teorema 8.14 implica que la forma αx 2 + βy 2 − z 2 no representa
0, luego en cualquier caso existe un β que no está enN α .
Puesto que |Q ∗ p : Q ∗2
p | = 4, necesariamente |Q ∗ p : N α | =2.
Nos queda el caso en que p = 2. Ahora |Q ∗ 2 : Q ∗2
2 | = 8 y como representantes
de las clases podemos tomar 1, 3, 5, 7, 2, 6, 10, 14. Vamos a comprobar que
cuando α y β varían en este conjunto de representantes la forma αx 2 + βy 2 − z 2
representa 0 en los casos indicados con un + en la tabla siguiente:
1 3 5 7 2 6 10 14
1 + + + + + + + +
3 + + + +
5 + + + +
7 + + + +
2 + + + +
6 + + + +
10 + + + +
14 + + + +
Una vez probado esto, la tabla indica que cuando α ≠ 1, o sea, cuando α
no es un cuadrado perfecto, la forma αx 2 + βy 2 − z 2 representa 0 para todos
los β que pertenecen a cuatro de las ocho clases posibles, luego |N α : Q ∗2
p | =4.
Puesto que |Q ∗ p : Q ∗2
p | = 8 se concluye que |Q ∗ p : N α | =2.
Supongamos primero que α =2ɛ, β =2η, donde ɛ, η son unidades (1, 3, 5
o 7). Si se cumple que 2ɛx 2 +2ηy 2 − z 2 = 0, podemos suponer que x, y, z son
enteros p-ádicos no todos pares. Claramente z es par, pero x e y son ambos
impares, pues si uno de ellos fuera par, digamos y, entonces 2ɛx 2 sería divisible
entre 4, luego x también sería par.
Haciendo z =2t la ecuación se reduce a ɛx 2 + ηy 2 − 2t 2 = 0. Tenemos, pues,
que la forma 2ɛx 2 +2ηy 2 − z 2 representa 0 si y sólo si la forma ɛx 2 + ηy 2 − 2t 2
representa 0 (y entonces x e y pueden tomarse impares). Por el teorema 8.18
esto equivale a que la congruencia ɛx 2 +ηy 2 −2t 2 ≡ 0 (mód 8) tenga solución con
x e y impares. El cuadrado de un impar es siempre congruente con 1 (mód 8),
mientras que 2t 2 puede ser congruente con 0 o con 2 (mód 8). Consecuentemente
la congruencia tiene solución si y sólo si ɛ + η ≡ 2 (mód 8) o ɛ + η ≡ 0(mód 8).
Esto da los valores del cuadrante inferior derecho de la tabla.