Teoria Numeros C Ivorra Castillo

264 Capítulo 11. La función dseta de Dedekind
la notación que introdujimos allí. Concretamente σ 1 ,...,σ s serán los monomorfismos
reales de K, mientras que σ s+1 , ¯σ s+1 ,...,σ s+t , ¯σ s+t serán los monomorfismos
complejos. Así, el grado de K será n = s +2t. La representación
geométrica de un número α ∈ K es
x(α) = ( σ 1 (α),...,σ s+t (α) ) ∈ R st .
En R st se define la norma N(x 1 ,...,x s+t )=x 1 ···x s |x s+1 | 2 ···|x s+t | 2 , de
modo que N(xy) =N(x) N(y) yN ( x(α) ) = N(α).
Los elementos x ∈ R st con N(x) ≠ 0 tienen asignada la representación
logarítmica dada por l(x) = ( l 1 (x),...,l s+t (x) ) , donde
l k (x) =
{
log |xk | para k =1,...,s,
log |x k | 2 para k = s +1,...,s+ t.
Sea ɛ 1 ,...,ɛ r un sistema fundamental de unidades de K. Sabemos que los
vectores l(ɛ 1 ),...,l(ɛ r ) forman una base del subespacio
V = {x ∈ R s+t | x 1 + ···+ x s+t =0},
de dimensión r = s + t − 1.
Si a estos vectores les añadimos l ∗ =(1, ...,1, s) 2, ...,2) t) obtenemos una base
de R s+t .Así, la representación logarítmica de cada vector x ∈ R st de norma no
nula se expresa de forma única como l(x) =ξl ∗ + ξ 1 l(ɛ 1 )+···+ ξ r l(ɛ r ), donde
ξ,ξ 1 ,...,ξ r son números reales.
Por último, sea m el número de raíces de la unidad contenidas en K.
Definición 11.2 Con la notación anterior, un subconjunto X de R st es un
dominio fundamental de K si es el conjunto de los puntos x que cumplen las
condiciones siguientes:
1. N(x) ≠0,
2. l(x) =ξl ∗ + ξ 1 l(ɛ 1 )+···+ ξ r l(ɛ r ), con 0 ≤ ξ i < 1.
El dominio fundamental de K está unívocamente determinado si fijamos un
sistema fundamental de unidades de K. El teorema siguiente prueba que todo
entero de K tiene un único asociado en el dominio fundamental salvo raíces de
la unidad, es decir, en realidad tiene m asociados. Podríamos haber dado una
definición ligeramente más restrictiva de modo que sólo hubiera un asociado,
pero esto complicaría ligeramente las pruebas, y a la hora de contar ideales no
importa que cada uno aparezca repetido m veces, pues basta dividir entre m el
resultado final.
Teorema 11.3 Cada elemento no nulo de K tiene exactamente m asociados
cuya representación geométrica se encuentra en el dominio fundamental de K.
Para probarlo demostramos primero lo siguiente: