Teoria Numeros C Ivorra Castillo

4.6. Cálculo de sistemas fundamentales de unidades 101
donde
|a i | = ∣ ∣Tr(αβ i ) ∣ n∑
n∑ ∣
= ∣ σ j (α)σ j (β i ) ∣ ≤ A ∣σ j (α) ∣ n∑
1, seaV el subespacio
generado por M, seau ∈ M no nulo, sea V ′ el subespacio de V ortogonal
a u yseaN la proyección de M en V ′ . Entonces:
1. N es un retículo de dimensión r − 1.
2. Supongamos que u ≠ nv para todo v ∈ M ytodonúmero natural n. Si
u 2 ,...,u r ∈ M y sus proyecciones en V son una base de N, entonces
u, u 2 ,...,u r son una base de M.
3. Todo elemento x ′ ∈ N es la proyección de un x ∈ M tal que
√
‖u‖
2
‖x‖ ≤ + ‖x
4
′ ‖ 2 .
Demostración: 1) Obviamente N es un subgrupo. El apartado 3) implica
que es discreto, luego es un retículo. Las proyecciones de r − 1 elementos de
M linealmente independientes de u son linealmente independientes, luego la
dimensión de N es r − 1.
2) Sean u i = a i u + u ′ i , donde cada u′ i es ortogonal a u. Similarmente,
dado cualquier v ∈ M, sea v = au + v ′ , donde v ′ es ortogonal a u. Entonces
v ′ = ∑ r
i=2 b iu ′ i , para ciertos enteros racionales b i. Consecuentemente:
( )
r∑
r∑
v = a − a i b i u + b i u i .
i=2
De aquí se sigue que el primer sumando del segundo miembro está enM ypor
la hipótesis sobre u el coeficiente b 1 = a − ∑ r
i=2 a ib i ha de ser un entero (los
elementos de M de la forma αu son claramente un retículo de base u). Esto
prueba lo pedido.
3) Sea x = αu+x ′ . Restando el oportuno tu, con t entero racional, podemos
exigir que |α| ≤1/2. Entonces
i=2
‖x‖ 2 = |α| 2 ‖u‖ 2 + ‖x ′ ‖ 2 ≤‖u‖ 2 /4+‖x ′ ‖ 2 .
Veamos ahora cómo podemos calcular en la práctica un sistema fundamental
de unidades de un cuerpo numérico K. Por simplificar la notación supondremos
que r = 3, aunque el método es completamente general. En primer lugar