Teoria Numeros C Ivorra Castillo

356 Capítulo 14. Números trascendentes
Ejercicio: Probar que las funciones arcsen, arccos y arctan toman valores trascendentes
sobre números algebraicos (salvo casos triviales).
14.2 El teorema de Gelfond-Schneider
Entre los famosos problemas planteados por Hilbert a principios de siglo, el
séptimo consistía en determinar el carácter algebraico o trascendente de ciertos
números concretos, tales como la constante de Euler. Entre otras cosas Hilbert
preguntaba si en general α β es un número trascendente cuando α y β son
números algebraicos, α ≠0,1yβ es irracional (en los casos exceptuados α β
es obviamente algebraico). Por α β se entiende e β log α , donde log α es cualquier
logaritmo complejo de α. Esta parte del séptimo problema fue demostrada independientemente
por Gelfond y Schneider en 1934. De este hecho se sigue en
particular que los números 2 √2 o e π =(−1) −i son trascendentes.
Sea K un cuerpo numérico de grado h y β 1 ,...,β h una base entera de K.
Si α ∈ K llamaremos α (i) , para i =1,...,h, a los conjugados de α en un cierto
orden. Llamaremos |α| = máx
1≤i≤h |α(i) |.
Si γ 1 ,...,γ h es la base dual de β 1 ,...,β h entonces, todo entero α de K
se expresa en forma única como α = a 1 β 1 + ···+ a h β h , para ciertos enteros
racionales a i tales que
|a i | = | Tr(αγ i )| = |α (1) γ (1)
i
+ ···+ α (h) γ (h)
i |≤ máx
1≤i≤h |γ(i) | |α|.
Así pues, existe una constante c que depende sólo de K y de la base β 1 ,...,β h
tal que para todo entero α ∈ K se cumple
α = a 1 β 1 + ···+ a h β h
con |a i |≤c, i =1,...,h.
Probamos dos teoremas previos:
Teorema 14.4 Sea (a jk ) una matriz M ×N con coeficientes enteros racionales
tal que M