Teoria Numeros C Ivorra Castillo

1.5. El teorema de Dirichlet 11
das por Kronecker y sus discípulos, en una línea que llevó hasta la ya citada Ley
de Reciprocidad de Artin, una de las cumbres de la teoría de números moderna.
1.5 El teorema de Dirichlet
Hay un problema más que llevó al estudio de los enteros ciclotómicos. Antes
que Gauss, Legendre había abordado también el problema de demostrar la
Ley de Reciprocidad Cuadrática, y consiguió demostrarla aceptando sin demostración
un hecho muy sencillo de enunciar y que los datos empíricos corroboraban:
Para todo natural n no nulo, cada una de las clases del grupo U n de
las unidades módulo n contiene al menos un número primo. Gauss no consiguió
demostrar este hecho, pero se las arregló para evitarlo. Dirichlet vislumbró
una posible conexión con los cuerpos ciclotómicos que efectivamente le llevó
hasta una demostración de lo que hoy se conoce como Teorema de Dirichlet
sobre Primos en Progresiones Aritméticas, pues admite el siguiente enunciado
elemental.
Teorema de Dirichlet Si a, b son números enteros primos entre sí, entonces
la progresión aritmética an + b, para n =1, 2,... contiene infinitos primos.
Aunque no estamos en condiciones de explicar la idea que guió a Dirichlet,
digamos al menos que está relacionada con que el grupo de Galois de la extensión
ciclotómica n-sima de Q es isomorfo a U n . El teorema de Dirichlet es una
herramienta importante en la teoría de números y, aunque en ocasiones puede
ser evitado (como hizo Gauss para probar la Ley de Reciprocidad) ello suele
llevar a caminos torcidos que restan naturalidad a las demostraciones. Por este
motivo la prueba de Dirichlet fue muy celebrada, además de porque fue uno de
los primeros éxitos importantes de la teoría analítica de números.
1.6 Ecuaciones diofánticas
Una ecuación diofántica es simplemente una ecuación polinómica de la que se
buscan las soluciones enteras. Se llaman así en honor al matemático griego Diofanto,
aunque en todos los libros que se conservan no hay ningún resultado sobre
ecuaciones diofánticas en este sentido moderno. Él buscaba siempre soluciones
racionales en lugar de enteras.
Todos los resultados que hemos probado en este capítulo son soluciones de
ecuaciones diofánticas. Del mismo modo que el estudio de los sistemas de ecuaciones
lineales dio lugar al álgebra lineal, las ecuaciones diofánticas están en la
base de las distintas ramas de la teoría de números. Sabemos que no puede existir
una teoría general de ecuaciones diofánticas en el mismo sentido que la hay
para los sistemas de ecuaciones lineales, pero hay muchos resultados aplicables
a familias concretas de ecuaciones. Ya hemos comentado que Gauss dedicó gran
parte de sus Disquisitiones arithmeticae a encontrar un método para resolver
cualquier ecuación diofántica de segundo grado con dos variables.