Teoria Numeros C Ivorra Castillo

7.2. Cuerpos métricos discretos 169
Es claro que (αn) n es una subsucesión de la sucesión de partida. Claramente
las sucesiones (x i π i )y(βn n π n ) convergen a 0, luego, teniendo en cuenta el
teorema anterior, existe
∞∑
lím αn n = x i π i ,
n
pues la serie es convergente y βn n π n tiende a 0.
Recíprocamente, si D/p es infinito, las clases de congruencia módulo p son
una partición de D (cerrado y acotado) en conjuntos abiertos, luego D no es
compacto.
La propiedad 2) del teorema anterior es simplemente la compacidad local.
Hemos visto, pues, que un cuerpo métrico discreto completo es localmente compacto
si y sólo si su cuerpo de restos es finito.
En la prueba del teorema anterior está contenida la mayor parte del resultado
siguiente:
Teorema 7.16 Sea K un cuerpo métrico discreto. Sea p su ideal primo y sea
F un conjunto de representantes de las clases módulo p tal que 0 ∈ F . Sea π
un primo de K. Entonces todo elemento α ∈ K no nulo se expresa de forma
única como
∞∑
α = x n π n , (7.1)
n=k
donde x n ∈ F , k ∈ Z y x k ≠0. Además k = v(α). SiK es completo cada serie
de esta forma determina un elemento de K.
Demostración: Sea k = v(α). Aplicamos el proceso de la prueba del teorema
anterior a la sucesión constante igual al entero π −k α, con la particularidad
de que, al ser todos los términos iguales, no es necesario tomar subsucesiones ni
suponer que F es finito. El resultado es un desarrollo de tipo (7.1) para π −k α,
y multiplicando por π k obtenemos otro para α.
Observar que si en (7.1) multiplicamos ambos miembros por π −k obtenemos
una serie todos cuyos términos son enteros, luego el límite también (el anillo
de enteros de K es claramente cerrado). De hecho, el resto módulo p de dicho
límite es x k ≠ 0. Por lo tanto v(π −k α)=0yv(α) =k.
Si un mismo α admite dos desarrollos de tipo (7.1), ambos tendrán el mismo
k = v(α):
x k π k + x k+1 π k+1 + x k+2 π k+2 + ···= y k π k + y k+1 π k+1 + y k+2 π k+2 + ···
Multiplicamos por π −k y obtenemos una igualdad de enteros:
i=0
x k + x k+1 π + x k+2 π 2 + ···= y k + y k+1 π + y k+2 π 2 + ···
Claramente entonces x k ≡ y k (mód π), y como ambos están en F , necesariamente
x k = y k . Restando y dividiendo entre π queda
x k+1 + x k+2 π + ···= y k+1 + y k+2 π + ···