Teoria Numeros C Ivorra Castillo

9.2. Géneros de formas y módulos 219
La explicación hay que buscarla en los géneros del orden maximal de un cuerpo
cuadrático y en su relación con los géneros de sus otros órdenes. Conviene
introducir algunas definiciones.
Definición 9.12 Diremos que un número entero D es un discriminante fundamental
si es el discriminante del orden maximal de un cuerpo cuadrático.
Si D es el discriminante de un orden cuadrático arbitrario, entonces D se
descompone de forma única como D = m 2 D 0 , donde m es un número natural
(el índice del orden) y D 0 es un discriminante fundamental.
Llamaremos caracteres fundamentales del orden cuadrático de discriminante
D a los caracteres χ p correspondientes a primos p que dividen al discriminante
fundamental D 0 .
En el caso en que haya tres caracteres módulo 2, sólo consideraremos fundamental
a uno de ellos, al único que cumple el teorema siguiente:
Teorema 9.13 Sea O un orden cuadrático de discriminante D yseaχ p
carácter fundamental de O. Entonces
1. Si f es una forma cuadrática de discriminante D,
un
χ p (f) =(a, D) p = ψ p (f),
donde a es cualquier número racional representado racionalmente por f y
ψ p (f) es el invariante definido en 8.27.
2. Si M es un módulo de O, entonces χ p (M) =(N(M),D) p .
Demostración: 1) Supongamos en primer lugar que p es impar y que a es
primo con p. Como D 0 es libre de cuadrados (salvo una posible potencia de 2)
se cumple que el exponente de p en D = m 2 D 0 es impar. Así pues, teniendo en
cuenta las propiedades del símbolo de Hilbert (teorema 8.25)
( ) a
χ p (f) = =(a, p) p =(a, D) p .
p
Si p =2(ya es impar) distinguimos casos según el resto de D/4 módulo 8.
Observar que en general (a, D) 2 =(a, D/4) 2 .
• Si D/4 ≡ 1 (mód 4) entonces (a, D/4) 2 =1=χ 2 (f).
• Si D/4 ≡−1(mód 4) entonces (a, D/4) 2 = δ(a) =χ 2 (a).
• Si D/4 ≡ 2 (mód 8) entonces D/4 =2u, donde u ≡ 1(mód 4) y así
(a, D/4) 2 =(a, 2) 2 (a, u) 2 =(a, 2) 2 = ɛ(a) =χ 2 (f).
• Si D/4 ≡ 6 (mód 8) entonces D/4 =2u, donde u ≡−1 (mód 4) y
(a, D/4) 2 =(a, 2) 2 (a, u) 2 = ɛ(a)δ(a) =χ 2 (f).