Teoria Numeros C Ivorra Castillo

270 Capítulo 11. La función dseta de Dedekind
En el último determinante sumamos todas las filas a la primera, con lo que
ésta se convierte en (n, 0,...,0). Desarrollando el determinante y recordando
la definición del regulador R de K dada en el capítulo 4 obtenemos que el
determinante jacobiano vale
J = ρ 1 ···ρ s+t
R
ξ 2 t R =
2 t .
ρ s+1 ···ρ s+t
Recordemos que el primer cambio de variables tenía jacobiano ρ s+1 ···ρ s+t ,
luego el jacobiano de la composición es R/2 t .
Puesto que T ′ se obtiene de un cubo mediante un cambio de variables de
clase C 1 , podemos concluir que T ′ es medible y su medida es (R/2 t )(2π) t = π t R.
Por consiguiente µ(T )=2 s π t R.
Falta probar que la frontera de T ′ es parametrizable Lipschitz. Ahora bien,
cambiando ξ 1/n por ξ, el cambio de coordenadas (11.8) se transforma en
( r∑
)
ρ j = ξ exp ξ k log |σ j (ɛ k )| , j =1,...,s+ t,
k=1
que, compuesto con el cambio a polares, nos da una aplicación h de clase C 1
que biyecta el cubo ]0, 1] × [0, 1[ r × [0, 2π[ t con el conjunto T ′ . Con un cambio
de variables obvio podemos sustituir este cubo por ]0, 1] × [0, 1[ r+t .
Ahora bien, esta aplicación está definida de hecho en todo R n , y la imagen del
cubo [0, 1] n es un compacto que contiene a la clausura de T ′ . Por consiguiente
los puntos de la frontera de T ′ deben ser imagen de puntos de la frontera del
cubo.
Esta frontera es la unión de las 2n caras formadas por las n-tuplas con
una coordenada constante igual a0oa1. Las2n funciones que resultan de
sumergir R n−1 en R n fijando una coordenada igual a 0 o a 1 son de clase C 1 y
las imágenes del cubo [0, 1] n−1 cubren la frontera del cubo unitario en R n ,por
lo que al componerlas con h obtenemos 2n funciones de clase C 1 tales que la
frontera de T ′ está cubierta por las imágenes del cubo unitario. Como son de
clase C 1 , las restricciones al cubo unitario tienen la propiedad de Lipschitz.
Recapitulando, podemos aplicar el teorema 11.6, y las constantes que aparecen
son
v = µ(T )=2 s π t R
y, según el teorema 4.5, la medida del paralelepípedo fundamental de la imagen
del ideal b por la representación geométrica es
√
|∆K |
V =
2 t N(b),
donde ∆ K es el discriminante de K. La conclusión es que
n(r) =
2s+t π t R
√
|∆K | N(b) rn + O(r n−1 ).
Teniendo en cuenta la relación (11.2) hemos probado el teorema siguiente: