Teoria Numeros C Ivorra Castillo

More documents

Recommendations

Info

256 Capítulo 10. El Último Teorema de Fermat única ideal. El resultado fue que hacían falta algunas hipótesis adicionales. Vamos a describir el problema con más detalle. Según lo dicho, partimos de la factorización 10.1. Siguiendo el esquema de la prueba de Euler, hemos de estudiar si los monomios x + ω i y son primos entre sí. Como en el caso p = 3, si la ecuación x p + y p = z p tiene solución, podemos suponer que x, y, z son primos entre sí dos a dos. Si dos monomios x + ω i y, x + ω j y (digamos con i
10.2. El teorema de Kummer 257 cumple que [a] p = [ (α) ] = 1, luego el orden de [a] divide a p, pero dicho orden ha de dividir también al orden h del grupo de clases, luego ha de ser 1, es decir, [a] = 1 y el ideal a ha de ser principal, digamos a =(δ). Así pues (α) =(δ p ), pero esto no garantiza que α sea una potencia p-ésima, sino tan sólo que α = ɛδ p para una cierta unidad ciclotómica ɛ. Nos falta justificar de algún modo que ɛ es también una potencia p-ésima. Observemos que una condición necesaria para que un entero ciclotómico cualquiera sea una potencia p-ésima es que sea congruente con un entero racional módulo p. En efecto, si ɛ = η p y η = a 0 + a 1 ω + ···+ a p−1 ω p−1 , al tomar clases módulo p queda que [ɛ] =[a 0 ] p +[a 1 ] p + ···+[a p−1 ] p . Esta condición no es en general suficiente, y el recíproco completa las hipótesis de Kummer: Definición 10.2 Un primo impar p es regular si cumple: A) p no divide al número de clases del cuerpo ciclotómico de orden p. B) Si ɛ es una unidad ciclotómica, entonces ɛ es una potencia p-ésima si y sólo si ɛ es congruente con un entero racional módulo p. Con esto podemos demostrar el resultado de Kummer: Teorema 10.3 (Kummer) El último teorema de Fermat es cierto para exponentes regulares. Demostración: Según las observaciones anteriores, si p es un primo regular y suponemos que existen enteros no nulos tales que x p + y p = z p , de hecho podemos suponer que x, y, z son primos entre sí dos a dos y que o bien p no divide a ninguno de ellos (caso I) o bien p divide a z (caso II). En cualquier caso tenemos la factorización z p = x p + y p =(x + y)(x + ωy) ···(x + ω p−1 y), En el caso I los factores son primos entre sí. En el caso II su único factor común es el primo ω − 1. Consideremos en primer lugar el caso I. Por la factorización única en ideales, cada ideal (x + ω i y) es una potencia p-ésima, luego por la propiedad A) de la definición de primo regular podemos concluir que x + ωy = ɛβ p , para una cierta unidad ɛ y un entero ciclotómico β (ver las explicaciones previas a la definición). Vamos a llegar a una contradicción tan sólo a partir de aquí, sin necesidad de usar la condición B). Para ello aplicamos la conjugación que envía ω a ω −1 (que no es sino la conjugación compleja). Así obtenemos que x + ω −1 y =¯ɛ ¯β p . Del teorema 4.27 se sigue que ɛ/¯ɛ = ω r , donde 0 ≤ r
Page 1:
Carlos Ivorra Castillo TEORÍA DE N
Page 5 and 6:
Índice General Prefacio ix Capítu
Page 7:
ÍNDICE GENERAL vii 11.7 Enteros ci
Page 11 and 12:
Capítulo I Introducción a la teor
Page 13 and 14:
1.2. El Último Teorema de Fermat 3
Page 15 and 16:
1.3. Factorización única 5 El nom
Page 17 and 18:
1.3. Factorización única 7 La cla
Page 19 and 20:
1.4. La ley de reciprocidad cuadrá
Page 21 and 22:
1.5. El teorema de Dirichlet 11 das
Page 23 and 24:
1.6. Ecuaciones diofánticas 13 un
Page 25 and 26:
1.7. Ecuaciones definidas por forma
Page 27 and 28:
1.7. Ecuaciones definidas por forma
Page 29 and 30:
Capítulo II Cuerpos numéricos El
Page 31 and 32:
2.1. Enteros algebraicos 21 Teorema
Page 33 and 34:
2.2. Discriminantes 23 Demostració
Page 35 and 36:
2.3. Módulos y órdenes 25 Ejercic
Page 37 and 38:
2.3. Módulos y órdenes 27 Ejemplo
Page 39 and 40:
2.3. Módulos y órdenes 29 Demostr
Page 41 and 42:
2.3. Módulos y órdenes 31 Es impo
Page 43 and 44:
2.4. Determinación de bases entera
Page 45 and 46:
Page 47 and 48:
Page 49 and 50:
Page 51 and 52:
Page 53 and 54:
Page 55 and 56:
2.5. Normas e Índices 45 Demostrac
Page 57:
2.5. Normas e Índices 47 Por lo ta
Page 60 and 61:
50 Capítulo 3. Factorización idea
Page 62 and 63:
Page 64 and 65:
Page 66 and 67:
Page 68 and 69:
Page 70 and 71:
Page 72 and 73:
Page 74 and 75:
Page 76 and 77:
Page 78 and 79:
Page 80 and 81:
Page 82 and 83:
Page 84 and 85:
Page 86 and 87:
Page 88 and 89:
78 Capítulo 4. Métodos geométric
Page 90 and 91:
Page 92 and 93:
Page 94 and 95:
Page 96 and 97:
Page 98 and 99:
Page 100 and 101:
Page 102 and 103:
Page 104 and 105:
Page 106 and 107:
Page 108 and 109:
Page 110 and 111:
100 Capítulo 4. Métodos geométri
Page 112 and 113:
Page 114 and 115:
Page 116 and 117:
Page 118 and 119:
Page 120 and 121:
Page 122 and 123:
112 Capítulo 5. Fracciones continu
Page 124 and 125:
Page 126 and 127:
Page 128 and 129:
Page 130 and 131:
Page 132 and 133:
Page 134 and 135:
Page 136 and 137:
Page 138 and 139:
Page 140 and 141:
Page 142 and 143:
132 Capítulo 6. Cuerpos cuadrátic
Page 144 and 145:
Page 146 and 147:
Page 148 and 149:
Page 150 and 151:
Page 152 and 153:
Page 154 and 155:
Page 156 and 157:
Page 158 and 159:
Page 160 and 161:
Page 162 and 163:
Page 164 and 165:
Page 167 and 168:
Capítulo VII Números p-ádicos En
Page 169 and 170:
7.1. Valores absolutos 159 Propieda
Page 171 and 172:
7.1. Valores absolutos 161 Isometr
Page 173 and 174:
7.1. Valores absolutos 163 Demostra
Page 175 and 176:
7.2. Cuerpos métricos discretos 16
Page 177 and 178:
Page 179 and 180:
Page 181 and 182:
7.3. Criterios de existencia de ra
Page 183 and 184:
7.4. Series en cuerpos no arquimedi
Page 185 and 186:
Page 187 and 188:
Page 189 and 190:
Page 191 and 192:
Capítulo VIII El teorema de Hasse-
Page 193 and 194:
8.1. Formas cuadráticas 183 que w
Page 195 and 196:
8.2. Formas cuadráticas sobre cuer
Page 197 and 198:
Page 199 and 200:
Page 201 and 202:
8.3. Formas binarias en cuerpos p-
Page 203 and 204:
Page 205 and 206:
Page 207 and 208:
8.4. El teorema de Hasse-Minkowski
Page 209 and 210:
8.4. El teorema de Hasse-Minkowski
Page 211 and 212:
8.5. La ley de reciprocidad cuadrá
Page 213 and 214:
8.6. Conclusión de la prueba 203 M
Page 215 and 216: 8.6. Conclusión de la prueba 205 R
Page 217: 8.6. Conclusión de la prueba 207 T
Page 220 and 221: 210 Capítulo 9. La teoría de los
Page 264 and 265: 254 Capítulo 10. El Último Teorem
Page 272 and 273: 262 Capítulo 11. La función dseta
Page 310 and 311: 300 Capítulo 12. Sumas de Gauss Se
Page 312 and 313: 302 Capítulo 12. Sumas de Gauss Te
Page 314 and 315: 304 Capítulo 12. Sumas de Gauss Cl
Page 316 and 317:
306 Capítulo 12. Sumas de Gauss De
Page 318 and 319:
308 Capítulo 12. Sumas de Gauss Ad
Page 320 and 321:
310 Capítulo 12. Sumas de Gauss De
Page 322 and 323:
312 Capítulo 12. Sumas de Gauss Po
Page 325 and 326:
Capítulo XIII Cuerpos ciclotómico
Page 327 and 328:
13.2. El primer factor del número
Page 329 and 330:
Page 331 and 332:
Page 333 and 334:
13.3. Los números de Bernoulli 323
Page 335 and 336:
Page 337 and 338:
Page 339 and 340:
13.4. El segundo factor del número
Page 341 and 342:
13.4. El segundo factor del número
Page 343 and 344:
13.5. Numeros p-ádicos ciclotómic
Page 345 and 346:
13.5. Numeros p-ádicos ciclotómic
Page 347 and 348:
13.6. La caracterización de los pr
Page 349 and 350:
Page 351 and 352:
Page 353 and 354:
Page 355:
Page 358 and 359:
348 Capítulo 14. Números trascend
Page 360 and 361:
Page 362 and 363:
Page 364 and 365:
Page 366 and 367:
Page 368 and 369:
Page 370 and 371:
Page 373:
Bibliografía [1] Baker, A. Breve i
Page 376 and 377:
Índice de Materias algebraico, 13
Page 378:
por una forma, 180 resto cuadrátic
show all

Teoria Numeros C Ivorra Castillo

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?