Teoria Numeros C Ivorra Castillo

2.3. Módulos y órdenes 25
Ejercicio: Probar que si x 5 + ax + b ∈ Q[x] es irreducible y α es una raíz, entonces
∆[α] =5 4 b 4 +2 8 a 5 .
Definición 2.9 En el teorema 2.7 hemos visto que la forma bilineal asociada a
la traza de un cuerpo numérico K es regular, por lo que induce un isomorfismo
entre K y su espacio vectorial dual. Concretamente, cada α ∈ K se corresponde
con la aplicación lineal K −→ Q dada por β ↦→ Tr(αβ). Si B = {α 1 ,...,α n } es
una base de K, podemos considerar su base asociada en el espacio dual de K, que
a través del isomorfismo citado se corresponde con una nueva base {α1,...,α ∗ n}
∗
de K. Esta base se llama base dual de B, y está caracterizada por que
{
Tr(α i αj ∗ 1 si i = j
)=
0 si i ≠ j
Ejemplo Sea α una raíz del polinomio x 3 +4x + 1. Una base del cuerpo Q(α)
la forman obviamente los números {1,α,α 2 }. Vamos a calcular la matriz en
dicha base de la forma bilineal asociada a la traza. En la página 22 tenemos los
conjugados de α. Si por ejemplo queremos calcular Tr(α · α) calculamos
α 2 1 + α 2 2 + α 2 3 = −8, 00001
con lo que Tr(α · α) =−8. Similarmente se calculan las demás trazas, y el
resultado es
⎛
3 0 −8
⎞
A = ⎝ 0 −8 3 ⎠ .
−8 3 32
El discriminante es ∆[α] =−283 y además
⎛
⎞
A −1 = 1 265 24 64
⎝ 24 −32 9 ⎠ .
283
64 9 24
Es fácil ver entonces que la base dual de la dada es
265
283 + 24
283 α + 64
383 α2 ,
24
283 − 32
283 α + 9
383 α2 ,
64
283 + 9
283 α + 24
383 α2 .
2.3 Módulos y órdenes
Finalmente estamos en condiciones de estudiar de forma sistemática algunos
conceptos que nos surgieron en el capítulo anterior, en relación con el estudio de
las ecuaciones definidas mediante formas. Recordemos la definición de módulo: