Teoria Numeros C Ivorra Castillo

13.6. La caracterización de los primos regulares 339
Demostración: Consideramos la igualdad de series de potencias formales
exp(log(1 + x)) = 1 + x. Un examen de la definición de composición de series
formales muestra que el coeficiente de x k en la composición depende únicamente
de los coeficientes de grado menor o igual que k de las series compuestas. Por
lo tanto, el polinomio E(L(1 + x)) coincide con la serie 1 + x hasta el término
de grado p − 1, es decir, E(L(1 + x)) = 1 + x + p(x), donde p(x) es un polinomio
de grado mayor o igual que p, y ciertamente tiene coeficientes enteros p-ádicos.
Por consiguiente se cumple la primera relación.
La segunda relación se prueba razonando del mismo modo con la composición
de series log ( 1 + (exp(x) − 1) ) = x.
Es claro que
(x + y) k k∑ x r y k−r
=
k! r! (k − r)! .
r=0
De aquí se sigue que E(x + y) =E(x) +E(y) +G(x, y), donde G(x, y) esel
polinomio formado por la suma de los productos de monomios de E(x) yE(y)
al menos uno de los cuales tiene grado mayor o igual que p. Claramente los
coeficientes de G son enteros p–ádicos, luego se tiene la tercera propiedad.
La cuarta propiedad la deducimos de las anteriores:
L(ɛ 1 ɛ 2 ) ≡ L ( E ( L(ɛ 1 ) ) E ( L(ɛ 2 ) )) ≡ L ( E ( L(ɛ 1 )+L(ɛ 2 ) ))
≡ L(ɛ 1 )+L(ɛ 2 ) (mód π p ).
Además de estas propiedades, vamos a necesitar un hecho más delicado:
Teorema 13.17 Si el primo π cumple (13.9) entonces
E(π) ≡ ω (mód π p ) y L(ω) ≡ π (mód π p ).
Demostración: Probemos en primer lugar que
E(p) p ≡ 1 (mód π 2p−1 ). (13.13)
Sea E(x) =1+xg(x), donde g(x) es un polinomio con coeficientes enteros
(p-ádicos). Entonces
( ( ) p p (xg(x)
E(x) p ) p−1+x
=1+ xg(x)+···+
1)
p g(x) p =1+ph(x)+x p g(x) p ,
p − 1
donde h(x) tiene coeficientes enteros (notar que p divide a los números combinatorios).
En la prueba del teorema 13.16 hemos visto que E(x)E(y) =E(xy)+G(x, y),
donde G(x, y) es un polinomio con coeficientes enteros (p-ádicos) con todos los
términos de grado ≥ p. Inductivamente se llega a que E(x) p = E(px)+x p M(x),
donde M tiene coeficientes enteros. Así pues,
1+ph(x)+x p g(x) p = E(px)+x p M(x),