Teoria Numeros C Ivorra Castillo

7.4. Series en cuerpos no arquimedianos 173
Ejercicio: Probar que si p es un primo impar el polinomio ciclotómico p-ésimo es
irreducible en Q p.
7.4 Series en cuerpos no arquimedianos
Para terminar con las propiedades generales de los cuerpos no arquimedianos
dedicamos esta sección al estudio de las series infinitas. El notable teorema 7.7
hace que éstas presenten un comportamiento especialmente simple, análogo al
de las series absolutamente convergentes en R oenC. El teorema siguiente es
un buen ejemplo de ello.
Teorema 7.21 La convergencia y la suma de una serie en un cuerpo completo
no arquimediano no se altera si se reordenan sus términos.
Demostración: Es claro que una sucesión de números reales tiende a cero
siysólo si cualquier reordenación suya tiende a cero. Por el teorema 7.7, una
∑
serie ∞ α n es convergente si y sólo si (α n ) tiende a 0, si y sólo si ( |α n | ) tiende
n=0
a 0, y esto no depende de la ordenación.
∑
Supongamos ahora que
∞ α n converge a S pero una reordenación suya
n=0
∞∑
β n converge a S ′ ≠ S. Sea ɛ = |S − S ′ |.
Existe un k tal que si m ≥ k entonces
m∑
α
∣ n − S
∣