Teoria Numeros C Ivorra Castillo

13.5. Numeros p-ádicos ciclotómicos 333
Demostración: Veamos en primer lugar que 1,π,π 2 ,...,π p−2 son linealmente
independientes sobre Q p (con lo que también lo serán sobre Z p ). Consideremos
una combinación lineal nula
α 0 + α 1 π + α 2 π 2 + ···+ α p−2 π p−2 =0.
Si no todos los coeficientes son nulos, multiplicando por una potencia adecuada
de p podemos conseguir otra combinación con no todos los coeficientes nulos y
tal que todos son enteros p-ádicos y al menos uno de ellos es una unidad. Sea i
el menor índice tal que α i sea una unidad. Para todo jiconcluimos igualmente que
v p (α j π j )=j + v p (α j ) ≥ j ≥ i +1,
es decir, p i+1 divide a todos los términos de la combinación lineal salvo quizá
a α i π i , pero esto implica que también divide a éste, luego p | α i , y esto es
contradictorio, pues v p (α i )=(p − 1)v p (α i )=0.
Ahora basta probar que todo α ∈ O p se expresa como combinación lineal de
estos números con coeficientes en Z p .
Teniendo en cuenta el teorema 7.16, α se puede expresar como
α = a 0,0 + a 0,1 π + ···+ a 0,p−2 π p−2 + βπ p−1 ,
donde 0 ≤ a 0,i ≤ p − 1yβ ∈ O p .
Puesto que p = ɛπ p−1 , para cierta unidad ɛ, tenemos de hecho que
α = a 0,0 + a 0,1 π + ···+ a 0,p−2 π p−2 + γ 1 p,
con γ 1 ∈ O p .
Igualmente γ 1 = a 1,0 + a 1,1 π + ···+ a 1,p−2 π p−2 + γ 2 p, con lo que
α =(a 0,0 + a 1,0 p)+(a 0,1 + a 1,1 p)π + ···+(a 0,p−2 + a 1,p−2 p)π p−2 + γ 2 p 2 .
Tras n + 1 pasos obtenemos
( n
) (
∑
n
(
∑
∑ n
α = a i,0 p i + a i,1 p
)π i + ···+ a i,p−2 p
)π i p−2 + γ n p n .
i=0
i=0
Es obvio que todas las series convergen y γ n p n tiende a 0, luego
( ∞
) (
∑
∞
(
∑
∑ ∞
α = a i,0 p i + a i,1 p
)π i + ···+ a i,p−2 p
)π i p−2 .
i=0
i=0
Finalmente, todo elemento de K p puede expresarse como p n α, con α ∈ O p y
n ∈ Z. De aquí se sigue inmediatamente que 1,π,π 2 ,...,π p−2 es un generador
de K p sobre Q p .
i=0
i=0