Teoria Numeros C Ivorra Castillo

106 Capítulo 4. Métodos geométricos
uno de los cuerpos conjugados de K está formado por números reales. Pero las
únicas raíces de la unidad reales son ±1, luego dicho cuerpo conjugado tiene
sólo estas dos raíces de la unidad, y consecuentemente K también.
Entonces toda unidad de K es de la forma ±ɛ m1
1 ···ɛ mr
r . Si alguna de las
unidades ɛ i cumple N(ɛ i )=−1, entonces N(−ɛ i )=(−1) n N(ɛ i ) = 1. Sustituyendo
ɛ i por −ɛ i tenemos un sistema fundamental de unidades todas ellas con
norma positiva.
Claramente, N(±ɛ m1
1 ···ɛ mr
r )=±1, luego las unidades de norma 1 de K son
exactamente las de la forma ɛ m1
1 ···ɛ mr
r .
Supongamos ahora que n es par. Si K contiene una raíz de la unidad distinta
de ±1, entonces lo mismo les ocurre a todos sus conjugados, luego ninguno de
ellos puede ser real, o sea, s = 0. Entonces la norma de cualquier elemento de
K se calcula como producto de pares de conjugados complejos, pero el producto
de un par de conjugados complejos es siempre un número real positivo y así
todas las normas son positivas.
Si K no contiene más raíces de la unidad que ±1, entonces, como el grado
es par, concluimos que N(±1) = 1, y en cualquier caso tenemos que las raíces
de la unidad de K tienen norma 1.
Supongamos que ɛ 1 ,...,ɛ k tienen norma positiva y que ɛ k+1 ,...,ɛ r la tienen
negativa. Entonces ɛ 1 ,...,ɛ k ,ɛ r ɛ k+1 ,...,ɛ r ɛ r−1 ,ɛ r es un sistema fundamental
de unidades donde sólo la última tiene norma negativa. En general, podemos
tomar un sistema fundamental de unidades ɛ 1 ,...,ɛ r donde todas tienen norma
positiva salvo quizá laúltima.
Si todas tienen norma positiva, entonces todas las unidades de K tienen
norma positiva y el problema está resuelto. Si N(ɛ r )=−1 entonces es claro que
N(ωɛ m1
1 ···ɛ mr
r )=(−1) mr .
Por lo tanto las unidades de norma positiva son las de la forma ωɛ m1
1 ···ɛ 2mr
r ,
luego las unidades ɛ 1 ,...,ɛ r−1 ,ɛ 2 r generan las unidades de norma positiva (junto
con una raíz primitiva de la unidad).
4.7 Cálculo del número de clases
En esta sección veremos cómo puede calcularse el número de clases de un
cuerpo numérico. El último problema que nos falta resolver para calcular
números de clases es determinar si un módulo completo contiene elementos
de una norma dada. Más en general, vamos a dar un método para encontrar
un conjunto finito de números con la norma deseada tal que cualquier otro sea
asociado a uno de ellos.
Partimos de un módulo completo M en un cuerpo numérico K. Sea O su
anillo de coeficientes. Sea ɛ 1 ,...,ɛ r un sistema fundamental de unidades de O.
Los vectores l(ɛ 1 ),...,l(ɛ r ) junto con l 0 =(1,...,1) forman una base de
R s+t .
Si µ ∈ M es no nulo, entonces l(µ) =αl 0 + ∑ r
i=1 α il(ɛ i ), donde los coeficientes
son números reales.