Teoria Numeros C Ivorra Castillo

72 Capítulo 3. Factorización ideal
3.5 Factorización ideal en órdenes no maximales
Los órdenes no maximales de los cuerpos numéricos cumplen las propiedades
1 y 2 del teorema de Dedekind (por los mismos argumentos que los maximales),
pero incumplen la 3, lo que impide que tengan factorización única real o
ideal. Sin embargo los fallos de la factorización ideal son mínimos y pueden ser
‘acotados’, como vamos a ver aquí.
Definición 3.25 Sea O el orden maximal de un cuerpo numérico K y O ′ cualquier
orden de K. Llamaremos conductor de O ′ al conjunto
f = {α ∈ O ′ | αO ⊂ O ′ }.
La ‘f’ proviene del alemán ‘Führer’. El teorema siguiente contiene algunas
propiedades y caracterizaciones sencillas sobre este concepto.
Teorema 3.26 Sea K un cuerpo numérico, sea O su orden maximal y sea O ′
un orden de K de índice m. Seaf el conductor de O ′ . Entonces:
1. f es un ideal no nulo tanto de O como de O ′ . Además f | m.
2. Para todo α ∈ O, siα ≡ 1 (mód f) entonces α ∈ O ′ .
3. f es el máximo común divisor de todos los ideales a de O que cumplen la
propiedad anterior, y también el de los que cumplen a ⊂ O ′ .
Demostración: 1) Es claro que f es un ideal. Además, como |O/O ′ | = m,
tenemos que mα ∈ O ′ para todo α ∈ O, luego m ∈ f.
2) Es evidente, al igual que la segunda parte de 3). Respecto a la primera
basta probar que un ideal a de O cumple a ⊂ O ′ si y sólo si cumple la propiedad
2). En efecto, si a cumple 2) y α ∈ a, entonces α +1 ≡ 1 (mód a), luego
α +1∈ O ′ , luego α ∈ O ′ . La implicación opuesta es obvia.
Si O es un orden numérico y f es un ideal de O, definimos I f (O) como el
conjunto de todos los ideales a de O tales que a + f = O.
Teorema 3.27 Sea K un cuerpo numérico, sea O su orden maximal y sea O ′
un orden cualquiera de K de conductor f. Entonces:
1. La aplicación i : I f (O ′ ) −→ I f (O) dada por i(a) =aO es biyectiva, y su
inversa viene dada por a ↦→ a ∩ O ′ .
2. Las correspondencias anteriores conservan productos e inclusiones, y hacen
corresponder ideales primos con ideales primos.
3. Todo ideal de I f (O ′ ) se descompone de forma única salvo el orden como
producto de ideales primos (que de hecho son maximales).