Teoria Numeros C Ivorra Castillo

168 Capítulo 7. Números p-ádicos
2) Por el apartado anterior, todo elemento de O p es de la forma α =lím α n ,
n
con α n ∈ O. Por la continuidad de la valoración, v p (α) =lím v p (α n ), luego
n
α ∈ p n ∗ si y sólo si α n ∈ p n para todo n suficientemente grande.
3) Es claro que la aplicación está bien definida y es un homomorfismo. Observemos
que α ≡ β (mód p n ) equivale a v p (α − β) ≥ n, y lo mismo es válido
para p ∗ , luego la aplicación es inyectiva. Por último el apartado 1) implica que
para todo α ∈ O p existe un β ∈ O tal que v p (α − β) ≥ n, lo que se traduce
en que todo elemento de O p es congruente módulo p n ∗ con un elemento de O, es
decir, que la aplicación es suprayectiva.
Según el teorema anterior, la congruencia de dos enteros de K módulo p n ∗ es
equivalente a la congruencia módulo p n . Por ello en lo sucesivo suprimiremos el
asterisco, y ya no distinguiremos entre p y p ∗ .
Ejercicio: Sea K un cuerpo numérico y p un ideal primo de K. Determinar la
clausura en K p de un ideal cualquiera de K.
Pasamos ahora a estudiar la topología de los cuerpos discretos. En el caso
concreto de los cuerpos p-ádicos, la finitud de los cuerpos de restos se traduce en
una propiedad de compacidad análoga a la de los números reales y complejos.
Teorema 7.15 Sea K un cuerpo métrico discreto y completo, D su anillo de
enteros y p su ideal primo. Las afirmaciones siguientes son equivalentes:
1. El cuerpo de restos D/p es finito.
2. Un subconjunto de K es compacto si y sólo si es cerrado y acotado.
Demostración: Supongamos que D/p es finito. Sea F un conjunto de
representantes de las clases de equivalencia. Sea π un primo en D, demodo
que p =(π). Basta probar que D es compacto, pues entonces lo serán todas
las bolas cerradas y también todos los conjuntos cerrados y acotados. A su vez
basta ver que toda sucesión de enteros (α n ) tiene una subsucesión convergente.
Tiene que haber infinitos términos de la sucesión congruentes módulo π con
un mismo x 0 ∈ F . Sea, pues, (αn) 1 una subsucesión tal que para todo número
natural n se cumpla αn 1 ≡ x 0 (mód π). Digamos αn 1 = x 0 + βnπ, 1 con βn 1 ∈ D.
Similarmente podemos tomar una subsucesión (αn)de(α 2 n) 1 tal que los correspondientes
βn 2 sean todos congruentes con un mismo x 1 ∈ F módulo π. De
este modo αn 2 = x 0 + x 1 π + βn 2 π 2 .
En general podemos ir obteniendo una sucesión de subsucesiones (αn) k (cada
cual subsucesión de la anterior) de modo que
k−1
∑
αn k = x i π i + βn k π k ,
i=0
con x i ∈ F , βn k ∈ D. En particular,
n−1
∑
αn n = x i π i + βn n π n .
i=0