Teoria Numeros C Ivorra Castillo

4.3. El teorema de Minkowski 85
A continuación lo probamos para cualquier s, t por inducción sobre t. Lo
tenemos probado para t =0. Sit =1ys = 0 no podemos aplicar la hipótesis
de inducción, pues el teorema no tiene sentido para (s, t) =(0, 0), pero es fácil
ver que µ(X 01 ) tiene el valor requerido. En cualquier otro caso calculamos
µ ( X s(t+1) (c) ) aplicando de nuevo el teorema de Fubini para separar las dos
últimas variables y cambiamos a coordenadas polares (ρ, θ), para lo cual hemos
de multiplicar por el determinante jacobiano del cambio, que es ρ. Con todo
esto queda:
µ ( X s(t+1) (c) ) ∫ c/2 ∫ 2π (
=
µ ( X st (c − 2ρ) ) )
ρdθ dρ
0 0
(
= 2π 2s+2t π
) t
∫ c/2
(c − 2ρ) s+2t ρdρ.
(s +2t)! 8 0
La fórmula de integración por partes (u = ρ, dv =(c − 2ρ) s+2t dρ) nos da
µ ( X s(t+1) (c) ) (
=4 2s+2(t+1) π
) t+1
∫ c/2
1 (c − 2ρ) s+2t+1
dρ,
(s +2t)! 8 0 2 s +2t +1
y de aquí se llega sin dificultad al valor indicado por la fórmula.
He aquí la primera consecuencia del teorema de Minkowski:
Teorema 4.12 Sea M un módulo completo en un cuerpo numérico K de grado
n = s +2t. Entonces existe un número α ∈ M no nulo tal que
( ) t √ 4 n! ∣∣∆[M] ∣
| N(α)| ≤
∣.
π n n
Demostración: Sea X st (c) según el teorema anterior. Vamos a aplicarle el
teorema de Minkowski tomando como retículo la imagen de M por la representación
geométrica de K, para lo cual se ha de cumplir que µ ( X st (c) ) > 2 s+2t k,
donde k es la medida√ del paralelepípedo fundamental del retículo, que por el
∣∣∆[M] ∣/ teorema 4.5 vale k = 2 t .
En definitiva, se ha de cumplir que µ ( X st (c) ) √ ∣∣∆[M] ∣
> 2 s+t ∣. Por el teorema
anterior esto es
(2c) n ( π
) t
√
> 2
s+t ∣∣∆[M] ∣ ∣,
n! 8
o sea, c n > ( ) √
4 t ∣∣
π
∆[M] ∣ n!. Si c cumple esta condición, existe un α ∈ M no
nulo tal que x(α) ∈ X st (c).
Usando que la media geométrica es siempre menor o igual que la media
aritmética concluimos que
√
n
∣∣N(α) ∣ √ ∣∣ = n σ 1 (α) ···σ s (α)σ s+1 (α) 2 ···σ s+t (α) 2∣ ∣
∣
∣σ 1 (α) ∣ + ···+ ∣ ∣σ s (α) ∣ +2 ∣ ∣σ s+1 (α) ∣ + ···+2 ∣ ∣σ s+t (α) ∣ ≤
< c n
n .