Teoria Numeros C Ivorra Castillo

11.2. Productos de Euler 273
Teorema 11.9 Sea K un cuerpo numérico. Para cada s>1 se cumple
ζ K (s) = ∏ p
1
1 − 1
N(p) s ,
donde p recorre los ideales primos de K. La convergencia del producto es absoluta.
Demostración: Para probar que el producto converge absolutamente observamos
que
∏ 1
1 − 1 = ∏ (
)
1
1+
N(p)
p N(p) s ,
− 1
s p
y entonces es suficiente probar que la serie
∑ 1
N(p) s − 1
p
converge (absolutamente).
Ahora bien, la convergencia de esta serie se sigue inmediatamente de la
convergencia de ∑ 1
, que a su vez es consecuencia de la convergencia de
N(p) s p
∑
1
(donde ahora a recorre todos los ideales no nulos de K).
N(a) s
a
Para cada ideal primo p se cumple que
1
1 − 1
N(p) s =
∞∑
k=0
1
N(p) ks .
Sea N un número natural y sean p 1 ,...,p r los primos de K de norma menor
o igual que N. Multiplicando las series anteriores para estos primos obtenemos
∏
N(p)≤N
1
1 − 1
N(p) s =
∞∑
k 1,...,k r=0
1
N(p k1
1 ···pkr r ) s = ∑ a
1
N(a) s ,
donde a recorre los ideales no divisibles entre primos de norma mayor que N.
Así pues, ∣ ∣∣∣∣∣
∏
1
1 − 1 − ζ K (s)
N(p)≤N N(p) s ∣ <
∑ 1
N(a) s ,
N(a)>N
pero esta última expresión tiende a 0 con N, luego se tiene la igualdad buscada.
Según explicábamos, la fórmula anterior es el punto de partida del argumento
de Dirichlet que le permitió demostrar el teorema sobre primos en progresiones
aritméticas. A su vez, la presencia del factor h en el residuo de la función dseta
fue aprovechada por Kummer para caracterizar de forma práctica sus primos
regulares. Aún estamos lejos de llegar a estos resultados, pero podemos probar