Teoria Numeros C Ivorra Castillo

140 Capítulo 6. Cuerpos cuadráticos
De aquí se siguen varias consecuencias. En primer lugar, si M y M ′ son
módulos de un mismo orden O y llamamos O ′ al anillo de coeficientes del producto
MM ′ , tenemos que
N(MM ′ )O ′ = MM ′ MM ′ = N(M)O N(M ′ )O = N(M) N(M ′ )O.
Como dos órdenes distintos no pueden ser similares, resulta que O = O ′ ,es
decir, el producto de módulos de un orden vuelve a ser un módulo del mismo
orden. Tomando ahora normas en N(MM ′ )O = N(M) N(M ′ )O concluimos
también que N(MM ′ )=N(M) N(M ′ ).
Más aún, dado un módulo cualquiera M de un orden O, se cumple MO = M
yelmódulo M ′ = M/N(M) tiene la propiedad de que MM ′ = O. En resumen:
Teorema 6.8 El conjunto de todos los módulos completos con anillo de coeficientes
igual a un orden cuadrático O es un grupo abeliano con el producto
definido en 6.6.
Ejercicio: Probar que en un cuerpo cuadrático se cumple que O mO m ′ = O (m,m ′ ),
para todo par de números naturales no nulos m, m ′ .
Ejercicio: Sea M = 〈 4, 3√ 2, 3√ 4 〉 un módulo de Q ( 3 √ 2 ) . Probar que su anillo de coeficientes
es 〈 1, 2 3√ 2, 2 3√ 4 〉 mientras que el de M 2 = 〈 2, 2 3√ 2, 3√ 4 〉 es el orden maximal
〈 1,
3 √ 2, 3√ 4 〉 (donde el producto se define análogamente a 6.6).
Si O es un orden cuadrático, la clase de similitud (estricta) de O está formada
por los módulos αO, donde α ≠0(N(α) > 0). Claramente se trata de un
subgrupo del grupo de todos los módulos de O, y la similitud (estricta) es
precisamente la congruencia módulo este subgrupo, por lo que el conjunto de
clases de similitud es el grupo cociente. Estos grupos cociente se llaman grupo
de clases estrictas y grupo de clases no estrictas del orden considerado.
Vamos a probar que el grupo de clases no estrictas de un orden cuadrático
es el mismo definido en 4.16. Como la definición dada allí se basa en ideales,
necesitaremos el teorema siguiente, que caracteriza los módulos que son ideales
de su anillo de coeficientes.
Teorema 6.9 Sea K = Q (√ d ) un cuerpo cuadrático.
ω = ( 1+ √ d ) /2 según el resto de d módulo 4. Entonces
Sea ω = √ d o bien
1. Si a es un módulo de la forma a = k 〈a, b + mω〉, con a, b, k enteros
racionales, entonces a es un ideal de O m siysólo si a | N(b + mω).
2. Todo ideal de O m puede expresarse de esta forma.
3.Sia es un ideal en estas condiciones y su anillo de coeficientes es O m ,
entonces se cumple N(a) =k 2 |a|.