Teoria Numeros C Ivorra Castillo

126 Capítulo 5. Fracciones continuas
Ahora observamos que en las hipótesis del teorema anterior se cumple
η m =(u ′ ξ n + v ′ )/w ′ >v ′ /w ′ ≥−1.
Más aún, si a n ≥ D, teniendo en cuenta que a n es la parte entera de ξ n ,de
hecho
η m =(u ′ ξ n + v ′ )/w ′ > (u ′ D + v ′ )/w ′ ≥ (u ′2 w ′ − w ′ )/w ′ = u ′2 − 1 ≥ 0,
ysia n ≥ 2D entonces
η m =(u ′ ξ n + v ′ )/w ′ > (u ′ 2D + v ′ )/w ′ ≥ 2u ′2 − 1 ≥ 1.
Esto es importante porque cuando η m > 1, la relación
η =[b 0 ,b 1 ,...,b m−1 ,η m ]
indica que los coeficientes de la fracción continua de η m son la prolongación del
desarrollo de η en fracción continua, que comienza con [b 0 ,b 1 ,...,b m−1 ,... ].
Es fácil ver que esto sigue siendo cierto cuando η m ≥ 0 si convenimos en que
[ ...,a,0,b,c,... ]=[...,a+ b, c, . . . ].
Nuestra intención es partir de un número irracional ξ 0 y dividir su fracción
continua en secciones
ξ 0 =[a 0 ,...,a n1−1 | a n1 ,...,a n2−1 | a n2 ,...,a n3−1 | a n3 ,... ],
a las que aplicar sucesivamente el teorema anterior.
Dado η 0 =(u 0 ξ 0 + v 0 )/w 0 tal que u 0 ,w 0 > 0yD = u 0 w 0 > 1, el teorema
nos da números u 1 ,v 1 ,w 1 en las mismas condiciones (con el mismo D) y
b 0 ,...,b m1−1 tales que
η 0 =[b 0 ,...,b m1−1,η m1 ] con η m1 =(u 1 ξ n1 + v 1 )/w 1 .
Ahora aplicamos el teorema a ξ n1 =[a n1 ,...,a n2 − 1 | a n2 ,...,a n3−1 | a n3 ,... ]
y obtenemos números u 2 ,v 2 ,w 2 con el mismo D y b m1 ,...,b m2−1 tales que
η m1 =[b m1 ,...,b m2−1,h m2 ] con η m2 =(u 2 ξ n1 + v 2 )/w 2 .
Suponiendo que b m1 ≥ 0 podemos enlazar ambos pasos y escribir
η 0 =[b 0 ,...,b m1−1,η m1 ]=[b 0 ,...,b m1−1 | b m1 ,...,b m2−1,η m2 ].
A continuación aplicamos el teorema a ξ n2 , y así sucesivamente. De este modo
vamos obteniendo el desarrollo en fracción continua de η 0 , suponiendo que los
sucesivos b mi que vamos obteniendo no sean negativos. Una forma de garantizarlo
es partir la fracción original de modo que cada a ni ≥ D, aunque no es
necesario.
Con la ayuda del teorema siguiente podremos garantizar que, con las hipótesis
adecuadas, al cabo de un número finito de pasos entraremos en un ciclo
que nos dará una fórmula general para el desarrollo completo de η 0 . Al mismo
tiempo nos dará una técnica útil para simplificar los cálculos.