Teoria Numeros C Ivorra Castillo

4.5. La representación logarítmica 97
Demostración: Sea W el núcleo indicado en el enunciado. Si α ∈ W
resulta que l k (α) = 0, luego |σ k (α)| = 1 para k =1,...,s+ t. Esto implica que
el conjunto { x(α) ∣ ∣ α ∈ W } está acotado, y como sus elementos pertenecen a
un retículo, que es un conjunto discreto, necesariamente ha de ser finito, y como
la representación geométrica x es biyectiva concluimos que el subgrupo W es
finito.
En particular los elementos de W tienen orden finito, luego son raíces de la
unidad. Recíprocamente si un ω ∈ O cumple ω n = 1, entonces todos los conjugados
de ω cumplen lo mismo, luego todos tienen módulo 1, y los logaritmos de
los módulos son 0, luego concluimos l(ω) =0.
Así pues, W contiene exactamente a las raíces de la unidad de O. En particular
contiene al −1, de orden 2, luego W es un grupo abeliano finito de orden
par. Además es cíclico porque todo subgrupo finito del grupo multiplicativo de
un cuerpo es un grupo cíclico.
Ejercicio: Probar que si un cuerpo numérico cumple s>1 entonces sus únicas raíces
de la unidad son ±1.
Ahora ya podemos aplicar el teorema de Minkowski al estudio de las unidades.
Teorema 4.22 Sea K un cuerpo numérico y O un orden de K. Entonces la
imagen del grupo de las unidades de O através de la representación logarítmica
es un retículo de dimensión s + t − 1.
Demostración: Sea M dicha imagen. Obviamente M es un subgrupo del
espacio logarítmico de K. Por el teorema 4.7, para demostrar que es un retículo
basta ver que es discreto. Sea r>0 y vamos a probar que sólo hay un número
finito de unidades ɛ tales que ‖l(ɛ)‖