Teoria Numeros C Ivorra Castillo

4.4. El grupo de clases 89
Tabla 4.1: Constantes de Minkowski
n s t M st
2 2 0 0, 5
2 0 1 0, 63662
3 3 0 0, 22223
3 1 1 0, 28295
4 4 0 0, 09375
4 2 1 0, 11937
4 0 2 0, 15199
√
Tomemos ahora p = 5. Se cumple que M 02 53 < 1, 7 y de nuevo tenemos
factorización única.
√
Para el caso p = 7 resulta M 03 75 < 4, 2. Observar que en realidad hay
factorización única si y sólo si todos los ideales primos son principales. Limitándonos
a ideales primos, cuya norma es siempre de la forma q m para un
primo racional q, sucede que las únicas normas posibles menores o iguales que
4 son 2, 3 y 4, es decir, sólo hemos de examinar los divisores primos de 2 y
3. Ahora bien, sus órdenes módulo 7 son 3 y 6 respectivamente, luego 2 se
descompone en dos factores primos de norma 8y3seconserva primo. Por lo
tanto no hay ideales primos de norma menor o igual que 4ytodoideal es, pues,
similar a 1. También en este caso tenemos factorización única.
√
Para p = 11 tenemos M 05 119 < 58, 97. Vamos a estudiar los primos
menores que 58. La tabla siguiente muestra el resto módulo 11 de cada uno de
ellos, así como su orden f.
q 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
r 2 3 5 7 0 2 6 8 1 7
f 10 5 5 10 0 10 10 10 1 10
q 31 37 39 41 43 47 51 53 57
r 9 4 6 8 10 3 7 9 2
f 5 5 10 10 2 5 10 5 10
Para calcular la tabla rápidamente basta tener en cuenta que una raíz primitiva
módulo 11 es 2, y que sus potencias son 1, 2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6.
Las normas de los divisores primos de un primo racional q son todas iguales
a q f . Como 2 10 > 58, descartamos los divisores de 2. Igualmente 3 5 > 58 y
43 2 > 58, luego los únicos primos de norma menor que 58 son los divisores de
11 y los de 23. Los divisores de 11 son los asociados de ω − 1, luego son todos
principales.
El 23 se descompone en producto de 10 ideales primos de norma 23. Hemos
de ver si son principales. Según el teorema 3.16 cada factor es de la forma
p = (23,ω − k), donde x − k es uno de los diez factores en que el polinomio
ciclotómico se descompone módulo 23. El número k es una raíz módulo 23 del