Teoria Numeros C Ivorra Castillo

3.2. Divisibilidad ideal en órdenes numéricos 61
norma 3. La unicidad de la factorización obliga a que sea ( 1+ √ −5 ) = p 1 q y
(
1 −
√ −5
)
= p2 r, de modo que la factorización única de 6 es
6=2· 3=(p 1 p 2 )(qr) =(p 1 q)(p 2 r)= ( 1+ √ −5 )( 1 − √ −5 ) .
Más aún, evidentemente p 1 es el máximo común divisor de 2 y 1 + √ −5, es
decir, que p 1 = ( 2, 1+ √ −5 ) .
Similarmente p 2 = ( 2, 1 − √ −5 ) , q = ( 3, 1+ √ −5 ) y r = ( 3, 1 − √ −5 ) .
Finalmente observamos que p 1 = p 2 , pues 1 − √ −5=2− ( 1+ √ −5 ) . Por
el contrario q ≠ r, pues en otro caso 1 = 3 − ( 1+ √ −5+1− √ −5 ) ∈ q, o sea,
q =1.
Si llamamos p = p 1 = p 2 , la factorización de 6 es, en definitiva, 6 = p 2 qr. Los
factores son ‘ideales’ porque no están en el anillo Z [√ −5 ] , pero se comportan
como si lo estuviesen.
Veamos ahora cómo encontrar sistemáticamente factorizaciones como la del
ejemplo anterior. Nuestro teorema básico es el siguiente.
Teorema 3.16 Sea K = Q(ζ) un cuerpo numérico, donde ζ es entero y p
un primo racional tal que p ∤ índ ζ. Sea g(x) =polmín ζ y ḡ(x) la imagen
de g(x) por el epimorfismo de Z[x] sobre (Z/pZ)[x]. Sea ḡ = ḡ e1
1 ···ḡer r la
descomposición de ḡ en polinomios mónicos irreducibles en (Z/pZ)[x]. Entonces
los ideales p i = ( p, g i (ζ) ) , para i =1,...,r son primos distintos en O K yla
descomposición de p en primos es p = p e1
1 ···per r . Además N(p i )=p grad gi .
Demostración: Para cada i =1,...,r, sea ζ i una raíz de ḡ i (x) enuna
extensión de Z/pZ. Entonces (Z/pZ)(ζ i ) es una extensión finita de Z/pZ y
ḡ i =polmín(ζ i , Z/pZ).
( )
Sea φ i : Z[ζ] −→ (Z/pZ)(ζ i ) la aplicación dada por φ i q(ζ) =¯q(ζi ). Está
bien definida, pues si q(ζ) =r(ζ), entonces (q − r)(ζ) = 0, luego g|q − r, de
donde ḡ | ¯q − ¯r, y también ḡ i | ¯q − ¯r, luego ¯q(ζ i ) − ¯r(ζ i )=0.
Obviamente φ i es un epimorfismo, luego Z[ζ]/ N(φ i ) ∼ = (Z/pZ)(ζ i ), y el segundo
anillo es un cuerpo, de donde N(φ i ) es un ideal maximal de Z[ζ].
Llamemos q i al ideal generado por p y g i (ζ) enZ[ζ]. Claramente q i ⊂ N(φ i )
(la imagen de p es [p] = 0). Veamos la otra inclusión. Si q(ζ) ∈ N(φ i ), entonces
¯q(ζ i ) = 0, luego ¯q(x) = ¯h(x)ḡ i (x). El hecho de que ¯q(x) − ¯h(x)ḡ i (x) = 0
significa que todos los coeficientes del polinomio q(x) − h(x)g i (x) son múltiplos
de p. Consecuentemente q(ζ) = ( q(ζ) − h(ζ)g i (ζ) ) + h(ζ)g i (ζ) ∈ q i . Por lo
tanto, q i = N(φ i ) es un ideal maximal de Z[ζ].
Sea k =índ ζ = ∣ ∣O K : Z[ζ] ∣ ∣. Claramente, si β ∈ O K , entonces kβ ∈ Z[ζ].
Veamos ahora que p i ≠ 1. En otro caso existirían enteros β,γ ∈ O K tales
que 1 = βp + γg i (ζ). Entonces k = kβp + kγg i (ζ) ykβ, kγ ∈ Z[ζ], luego
k ∈ q i = N(φ i ), luego p | k, en contra de la hipótesis.
Tomemos un entero racional x tal que kx ≡ 1(mód p). Dado cualquier
β ∈ O K , sea γ = kxβ. Entonces γ ∈ Z[ζ] yγ ≡ β (mód p i ). Esto prueba que