Teoria Numeros C Ivorra Castillo

11.5. La función dseta en cuerpos ciclotómicos 285
desde un módulo menor para que lo mismo le ocurra a χ. Además, como χ tiene
orden 2, todos sus factores tienen orden 2 (el orden de χ es el mínimo común
múltiplo de estos órdenes, y ninguno de los factores puede tener orden 1 porque
son primitivos).
Todo esto implica que m ha de ser un número natural impar d libre de
cuadrados, o bien 4d o bien 8d. Más aún, si m = d o m =4d hay un único
carácter cuadrático primitivo módulo m, el producto de los únicos caracteres
cuadráticos primitivos módulo los primos p | m ymódulo 4 en su caso (en
realidad hemos probado que hay a lo sumo uno, pero esto basta). Si m =8d
hay a lo sumo dos caracteres, pues puede variar el carácter módulo 8.
En todos estos casos existe un cuerpo cuadrático K de discriminante ∆
de manera que m = |∆|. En efecto, si m = d y d ≡ 1 (mód 4), entonces
K = Q (√ d ) ,ysid ≡−1 (mód 4), entonces K = Q (√ −d ) . De hecho hay
un único cuerpo K con discriminante ±m, y su carácter es primitivo, luego
ciertamente hay un único carácter primitivo módulo m en correspondencia con
un único cuerpo cuadrático.
Si m =4d tomamos K = Q (√ −d ) si d ≡ 1 (mód 4) y K = Q (√ d ) si
d ≡−1 (mód 4), con lo que la situación es análoga.
Finalmente, si m =8d entonces los cuerpos Q (√ ±2d ) tienen ambos discriminante
±m, pero sus caracteres son distintos, ya que uno es par y el otro
impar. Por lo tanto también hay exactamente dos caracteres cuadráticos primitivos
módulo m en correspondencia con dos cuerpos cuadráticos.
11.5 La función dseta en cuerpos ciclotómicos
La teoría de caracteres nos permitirá desarrollar la función dseta de los
cuerpos ciclotómicos de manera análoga a como hemos hecho con los cuerpos
cuadráticos. Sea, pues, Q(ω) el cuerpo ciclotómico de orden m. Enlafórmula
de Euler agrupamos los factores que dividen a un mismo primo racional p:
ζ K (s) = ∏ p
∏
p|p
1
1 − 1
N(p) s ,
donde p recorre los primos racionales.
Si p es un primo y m = p i m ′ , el teorema 3.20 nos da que p tiene φ(m)/f p
factores primos, donde f p es el orden de p en U m ′, y la norma de cada factor es
igual a p fp . Por lo tanto
ζ K (s) = ∏ p
Para simplificar esta expresión consideramos
(
1 − 1
p fps ) −φ(m)/fp
. (11.12)
ω p = cos(2π/f p )+i sen(2π/f p ),