Teoria Numeros C Ivorra Castillo

152 Capítulo 6. Cuerpos cuadráticos
Con ellos se forman los ideales siguientes de norma menor o igual que 9:
1, p, p 2 , p 3 , q, q 2 , r, r 2 , pq, pr, qr.
Sin embargo sabemos que p 2 = 2 es principal, así como qr = 3, luego la lista
de representantes de clases de similitud se reduce a
1, p, q, q 2 , r, r 2 , pq, pr.
Para estudiar las relaciones de similitud entre ellos necesitamos conocer bases.
El teorema 6.9 nos da que
〈
p = 2, √ 〉 〈
82 q = 3, 1 − √ 〉 〈
82 , r = 3, 1+ √ 〉
82 .
(estos ideales están contenidos en p, q y r y tienen la misma norma).
Así pues,
〈
1= 1, √ 〈
〉
√ 〉 〈
82
82 , p =2 1, , q =3 1, 1 − √ 〉 〈 〉
82
, r =3 1, 1+√ 82
.
2
3
3
Los desarrollos en fracción continua son
√ [ ]
82 = 9, 18 ,
√
82
= [ 4, 1, 1, 8 ] ,
2
1 − √ 82
= [ −3, 3, 5, 1, 2 ] ,
3
1+ √ 82
= [ 3, 2, 1, 5 ] .
3
Vemos, pues, que ningún par es similar. Estudiemos ahora q 2 , que es similar
a 〈
1, 1 − √ 〉
82
, 83 − 2√ 82
3 3
〈
=
1, 1 − √ 82
9
Calculamos
1 − √ 82
= [ −1, 9, 1, 1, 8 ] ,
9
luego [q 2 ]=[p].
Podríamos seguir estudiando los ideales, pero las reglas elementales de la
teoría de grupos nos permiten acabar sin más cálculos. En efecto, puesto que
[p] tiene orden 2 y [q] 2 =[p], concluimos que [q] tiene orden 4. Si eliminamos q 2
de la lista de representantes nos quedan siete ideales, luego h ≤ 7, pero como
hay una clase de orden 4 ha de ser 4 | h, lo que obliga a que h = 4. Sabemos que
las cuatro clases [1], [p], [q], [r] son distintas, luego [q] 3 =[r] y esto ya determina
el producto de cualquier par de clases. La unidad fundamental del orden tiene
norma negativa, luego el grupo de clases estrictas es el mismo.
〉
.