Teoria Numeros C Ivorra Castillo

12.3. El signo de las sumas cuadráticas 307
Por 12.5 podemos afirmar que
{ √ ± p si p ≡ 1 (mód 4)
G(p) =
± √ pi si p ≡−1 (mód 4)
(12.4)
La cuestión era determinar el signo. El caso es que los cálculos explícitos
muestran que siempre aparece el signo positivo, pero Gauss tardó tres años
en encontrar una prueba de ello. Con sus propias palabras: “... este estudio,
que a primera vista parece muy sencillo, conduce directamente a dificultades
inesperadas, y su desarrollo, que ha llegado hasta aquí sin obstáculos, requiere
métodos completamente nuevos.”. Vamos a dar una prueba debida a Shur.
Teorema 12.6 Sea p un primo impar. Entonces
{ √p si p ≡ 1 (mód 4)
G(p) = √ pi si p ≡−1 (mód 4)
Demostración: Sea ω = cos(2π/p)+i sen(2π/p). Consideremos la matriz
A =(ω xy ), donde x, y varían entre 0 y p − 1. La expresión (12.2) para la suma
G(p) prueba que ésta es la traza de la matriz A. Sean λ 1 ,...,λ p los valores
propios de A. Entonces G(p) =λ 1 + ···+ λ p , y todo se reduce a calcular los
valores propios de A. Calculamos ahora A 2 . El coeficiente x, y de A 2 es
p∑
ω t(x+y) =
t=1
{ p si x + y ≡ 0 (mód p)
0 si x + y ≢ 0 (mód p)
Es obvio que los valores propios de A 2 son los cuadrados de los valores
propios de A, pero el polinomio característico de A 2 es fácil de calcular:
pol carA 2 =(t − p) (p+1)/2 (t + p) (p−1)/2 .
(Esbozamos el cálculo: el determinante de tI − A 2 puede desarrollarse por
la primera fila, de modo que queda (t − p)|B|, donde B es una matriz de orden
p − 1 que tiene a t en toda la diagonal principal y −p en la otra diagonal.
Desarrollando este determinante por la primera fila queda (t − p)(t|C| + p|D|),
y los dos determinantes pueden desarrollarse por la última fila para llegar a
(t − p)(t 2 |B ′ |−p 2 |B ′ |)=(t − p)(t 2 − p 2 )|B ′ |,
donde B ′ es como B pero con dos filas y columnas menos).
Así pues, los valores propios de A 2 son (p +1)/2 números iguales a p y
(p − 1)/2 números iguales a −p, luego cada valor propio de A es de la forma
± √ p o ±i √ p.Más aún, si llamamos a, b, c, d a las multiplicidades de los valores
propios √ p, − √ p, i √ p, −i √ p, ha de cumplirse
a + b =(p +1)/2, c+ d =(p − 1)/2. (12.5)