Teoria Numeros C Ivorra Castillo

30 Capítulo 2. Cuerpos numéricos
Demostración: Sea I un ideal no nulo de O. Claramente I es un módulo
(todo Z-submódulo de un Z-módulo finitamente generado es finitamente generado).
Sea α ∈ I no nulo. Entonces αO ⊂ I es un módulo similar al módulo
completo O, luego es un módulo completo. El rango de I ha de ser mayor o
igual que el de αO, que es el máximo, luego I es un módulo completo.
Volvamos al problema de las ecuaciones diofánticas definidas por formas completas.
Ya sabemos que es equivalente a encontrar todos los elementos de una
norma dada c en un módulo completo M. También hemos visto que si tenemos
un m ∈ M con N(m) =c, entonces obtenemos nuevas soluciones considerando
números de la forma ɛm, donde, en los términos que hemos introducido, ɛ es
una unidad de O M de norma 1. Conviene introducir una definición:
Definición 2.18 Dos elementos x e y de un módulo completo M son asociados
si existe una unidad ɛ ∈ O M tal que x = ɛy.
Teniendo en cuenta que un orden es su propio anillo de coeficientes, resulta
que cuando M es un orden este concepto de asociación se corresponde con
el usual en teoría de anillos: dos elementos de un anillo son asociados si se
diferencian en una unidad.
Así, resolver una ecuación diofántica asociada a una forma completa se reduce
a encontrar un conjunto maximal de elementos no asociados de una norma
dada junto con todas las unidades de norma +1. El planteamiento es razonable
porque ahora probamos que tal conjunto maximal es siempre finito, es decir,
todos los números de una norma dada se pueden obtener a partir de un número
finito de ellos multiplicando por unidades de norma 1.
Teorema 2.19 Un módulo completo contiene sólo un número finito de elementos
no asociados de una norma dada.
Demostración: Lo probamos primero para un orden O.
Sea α 1 ,...,α n una base de O y sea c>1unnúmero natural. Cada elemento
de O es congruente módulo c con un elemento de la forma
x 1 α 1 + ···+ x n α n
con 0 ≤ x i