Teoria Numeros C Ivorra Castillo

14.1. El teorema de Lindemann-Weierstrass 353
Consideremos el polinomio
∏
(c1 z i1 + ···+ c n z in )= ∑ B h1,...,h m
z h1
1 ···zhm m ,
donde la suma se extiende sobre las m-tuplas (h 1 ,...,h m )denúmeros naturales
que suman µ y los coeficientes B h1,...,h m
son enteros racionales.
La expresión de la izquierda es claramente invariante por permutaciones de
las indeterminadas z 1 ,...,z m , luego los coeficientes B h1,...,h m
son invariantes
por permutaciones de h 1 ,...,h m . Consecuentemente podemos agrupar así los
sumandos:
∏ r∑ ∑
(c1 z i1 + ···+ c n z in )= B k z
h k1
k 1
...z h km
k m
,
donde r es el número de elementos de un conjunto de m-tuplas (h k1 ,...,h km )
de números naturales que suman µ sin que haya dos que se diferencien sólo
en el orden, y el segundo sumatorio varía en un conjunto P k de permutaciones
(k 1 ,...,k m )de(1,...,m) que dan lugar, sin repeticiones, a todos los monomios
posibles z h k1
k 1
...z h km
k m
. Sustituimos las indeterminadas por exponenciales y queda
∏ r∑ ∑
(c1 e γi 1 + ···+ cn e γin )= B k e
h k1 γ k1 +···+h km γ km =0.
k=1
k=1
La definición del conjunto P k hace que el polinomio
∏(
x − (hk1 z k1 + ···+ h km z km ) )
sea invariante por permutaciones de z 1 ,...,z m , luego
F k (x) = ∏ (
x − (hk1 γ k1 + ···+ h km γ km ) ) ∈ Q[x].
Si llamamos γ 1k ,...,γ tk k a las raíces de F k (x) (repetidas con su multiplicidad),
nuestra ecuación puede escribirse como
∏ r∑
(c1 e γi 1 + ···+ cn e γin )= B k (e γ 1k
+ ···+ e γ t kk )=0.
k=1
Sean s i (x) ∈ Q[x], i =1,...,q los distintos factores mónicos irreducibles de los
polinomios F k (x). Así cada F k (x) se expresa como
F k (x) =
q∏
i=1
s p ik
i (x),
para ciertos números naturales p ik .
Sean β 1i ,...,β tii las raíces de s i (x) (todas son simples, porque el polinomio
es irreducible). Entonces el polinomio F k (x) tiene p ik veces cada raíz β ji , luego
B k (e γ 1k
+ ···+ e γ t kk )=
q∑
p ik B k (e β1i + ···+ e βt i i ).
i=1