Teoria Numeros C Ivorra Castillo

Capítulo IV
Métodos geométricos
En este capítulo desarrollaremos las técnicas adecuadas para resolver los
problemas que hemos venido planteando en los capítulos anteriores. Todos estos
problemas, resueltos originalmente por distintos métodos y autores, pueden
reducirse a un teorema general debido a Minkowski, y que pertenece a una rama
de la teoría de números conocida como geometría de los números. Amodode
primera aproximación podemos pensar en el anillo de los enteros de Gauss, Z[i].
Hasta aquí hemos considerado a éste y otros anillos desde un punto de vista
puramente algebraico. Ahora nos fijamos en que este anillo está contenido en el
plano complejo y, más precisamente, sus elementos son los vértices de una red
de cuadrados de lado unidad que cubren todo el plano. Esta ‘representación
geométrica’, debidamente generalizada, da pie a una serie de argumentos que
aportan información valiosa sobre los órdenes numéricos. El primer problema
es que no tenemos una representación similar para anillos como Z [√ 2 ] .Sivemos
este anillo como subconjunto del plano complejo nos encontramos con un
subconjunto denso de la recta real, algo muy distinto al caso anterior y donde
no podemos aplicar directamente las técnicas que vamos a desarrollar. La diferencia
básica es que en el primer ejemplo números linealmente independientes
sobre Q son también linealmente independientes sobre R, mientras que en el
segundo todos los números son linealmente dependientes sobre R. Nuestro primer
paso será ‘separar’ los elementos de un cuerpo numérico de modo que la
independencia lineal sobre Q se conserve sobre R.
4.1 La representación geométrica
Definición 4.1 Sea K un cuerpo numérico de grado n. Para cada monomorfismo
σ : K −→ C definimos el conjugado de σ como la composición de σ con la
conjugación compleja, es decir, el monomorfismo dado por ¯σ(α) =σ(α). Diremos
que σ es real si σ =¯σ o, equivalentemente, si σ[K] ⊂ R. En caso contrario
diremos que σ es complejo.
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