Teoria Numeros C Ivorra Castillo

142 Capítulo 6. Cuerpos cuadráticos
x = rx ′ + sy ′ , y = tx ′ + uy ′ transforma la forma cuadrática dada en otra
propiamente equivalente en la que a ′ = ar 2 + brt + ct 2 .
Veamos que (a ′ ,m)=1. Seap un divisor primo de m. Si p ∤ c, entonces
p | r y p ∤ t, luego p ∤ a ′ .
Si p | c distinguimos dos casos: si p ∤ a entonces p | t pero p ∤ r, luego p ∤ a ′ .
Si p | c y p | a, como (a, b, c) = 1 tenemos que p ∤ b, p ∤ r y p ∤ t, luego p ∤ a ′ .
Con esto podemos probar el resultado que necesitamos para relacionar las
dos definiciones que hemos dado del grupo de clases.
Teorema 6.11 Todo módulo completo M con anillo de coeficientes O m es estrictamente
similar a un ideal de O m de norma prima con cualquier entero
prefijado n.
Demostración: Consideremos un módulo M cuyo anillo de coeficientes
sea O m . Éste tendrá asociada una forma cuadrática primitiva, y por el teorema
anterior podemos obtener otra propiamente equivalente ax 2 + bxy + cy 2 con
(a, n) = 1. Esta forma cuadrática puede expresarse como a(x + γy)(x +¯γy),
donde −γ es una raíz del polinomio ax 2 + bx + c, y por lo tanto la forma está
asociada al módulo 〈1,γ〉, o también al módulo estrictamente similar
〈 〉
〈a, aγ〉 = a, b − t√ d
,
2
donde b 2 − 4ac = t 2 d con d libre de cuadrados. Cambiando γ por su conjugado
si es preciso podemos suponer que las bases están orientadas.
Como formas equivalentes están asociadas a módulos similares, en realidad
este módulo es similar al módulo original M y en particular su anillo de coeficientes
sigue siendo O m .
Así mismo el discriminante de la forma ha de ser el de O m , es decir, o bien
t 2 d = m 2 d o bien t 2 d = m 2 4d, según el resto de d módulo 4. Por lo tanto t = m
o bien t =2m.
Observar que
(
b − t √ )
(
d
b − t √ )
d
N
= ac y Tr
= b,
2
2
luego se trata de un entero. En el caso d ≢ 1 (mód〈
4), el coeficiente b ha de
ser par, digamos b =2b ′ ,yt =2m, y el módulo es a, b ′ + m √ 〉
d , que por el
teorema 6.9 es un ideal de O m de norma prima con n.
En el caso d ≡ 1(mód 4) llegamos a lo mismo. En efecto, entonces el módulo
que hemos obtenido es 〈
a, b + t 〉
− tω ,
2
pero t = m y el ideal tiene la misma forma que en el caso anterior.