Teoria Numeros C Ivorra Castillo

68 Capítulo 3. Factorización ideal
Tabla 3.2: Factorización en cuerpos cúbicos puros
Casos
Factorización
e
f
p ∤ 3ab x 3 ≡ ab 2 (mód p) resoluble
p = p 1 p 2 p 3
1
1
p ≡ 1 (mód 3) x 3 ≡ ab 2 (mód p) no resoluble
p = p
1
3
p ∤ 3ab p ≡−1 (mód 3)
p = p 1 p 2
1
1/2
p | 3ab (excepto p = 3, tipo II)
p = p 3
3
1
p = 3 tipo II
3=p 1 p 2 2
1/2
1
grado 2. La factorización de p es, por lo tanto, p = p 1 p 2 , donde N(p 1 )=p y
N(p 2 )=p 2 .
Si p ≡ 1 (mód 3) hay dos casos, según que la congruencia x 3 ≡ ab 2 (mód p)
tenga o no solución. Si la tiene, de hecho tiene tres soluciones distintas, y p
se descompone en producto de tres primos distintos p = p 1 p 2 p 3 , todos ellos de
norma p. Si no hay solución p se conserva primo.
Si p | ab (incluyendo p = 3), entonces x 3 − ab 2 ≡ x 3 (mód p), luego p = p 3 ,
salvo en el caso en que no podemos aplicar el teorema, es decir, si p =3yK es
de tipo II.
Si p =3∤ ab y K es de tipo I entonces x 3 − ab 2 ≡ x 3 ± 1 ≡ (x ± 1) 3 (mód 3),
luego p = p 3 .
Nos falta considerar p = 3 en los cuerpos de tipo II. Necesitamos encontrar
otro entero en K cuyo índice no sea divisible entre 3. Por ejemplo vemos que
índ θ 0 = |b − a|/9, luego si 27 ∤ b − a podemos usar θ 0 . En caso contrario
( )
1+1θ1 − 2θ 2
índ(θ 0 − θ 2 )=índ
=
3
|b +8a|
,
9
y27∤ b +8a.
Ahora sólo queda un cálculo laborioso que involucra calcular los polinomios
mínimos de estos dos enteros, reducirlos módulo 3 y factorizarlos.
Por ejemplo, en la prueba del teorema 2.27 vimos que
pol mín θ 0 = x 3 − x 2 + 1 − ab
3
x − 1+ab2 + a 2 b − 3ab
.
27
Para eliminar los denominadores hacemos a =9u +3t +1, b =9v +3t +1 y
al tomar clases módulo 3 queda x 3 − x 2 + tx − t 2 + t 3 .
Sustituyendo t =0, 1, 2, se ve que siempre hay una raíz doble y otra simple.
Igualmente,
pol mín(θ 0 − θ 2 )=x 3 − x 2 + 1+2ab
3
x + 8ab2 − 6ab − a 2 b − 1
,
27