Teoria Numeros C Ivorra Castillo

11.4. Caracteres modulares 281
11.4 Caracteres modulares
Estudiamos ahora con más detalle los caracteres de los grupos de unidades
módulo un número natural m. Tal y como hemos hecho hasta ahora en los
casos particulares que hemos manejado, conviene considerar a estos caracteres
definidos sobre Z.
Definición 11.17 Un carácter módulo m es una aplicación χ : Z −→ C que
cumple las condiciones siguientes:
1. Para todo a ∈ Z se cumple χ(a) =0siysólo si (a, m) ≠1.
2. Si a ≡ a ′ (mód m), entonces χ(a) =χ(a ′ ).
3. Si a, b ∈ Z, entonces χ(ab) =χ(a)χ(b).
Obviamente todo carácter χ módulo m define un carácter χ ′ del grupo de
unidades U m mediante χ ′( [a] ) = χ(a) y, recíprocamente, todo carácter de U m
está inducido por un único carácter módulo m. En la práctica identificaremos
los caracteres módulo m con los caracteres de U m . En general, los caracteres
módulo m para un módulo cualquiera se llaman caracteres modulares. Por
ejemplo, es claro que el símbolo de Legendre (x/p) es un carácter módulo p.
Notar que si χ es un carácter modular χ(−1) 2 = χ ( (−1) 2) = χ(1) = 1, luego
χ(−1) = ±1. Si χ(−1) = 1 se dice que χ es un carácter par, ysiχ(−1) = −1 se
dice que χ es impar. Los caracteres pares cumplen en general que χ(−n) =χ(n),
mientras que los impares cumplen χ(−n) =−χ(n).
Si m | m ′ entonces todo carácter χ módulo m determina un carácter módulo
m ′ dado por
{
χ ′ χ(a) si (a, m
(a) =
′ )=1,
0 si (a, m ′ ) ≠1.
Llamaremos a χ ′ el carácter inducido por χ. Observar que el valor de χ ′ (a)
depende en realidad del resto de a módulo m y no del resto módulo m ′ .
En términos de caracteres ordinarios la interpretación es la siguiente: si
m | m ′ entonces existe un homomorfismo f : U m ′ −→ U m dado por f ( [a] ) =[a].
Si χ es un carácter de U m entonces χ ′ es la composición de χ con f.
En realidad f es un epimorfismo, pues si (a, m) = 1, por el teorema chino
del resto existe un a ′ que cumple a ′ ≡ a (mód m) ya ′ ≡ 1 (mód p) para todo
primo p que divida a m ′ pero no a m. Entonces (a ′ ,m ′ )=1yf ( [a ′ ] ) =[a]. A
f lo llamaremos epimorfismo canónico de U m ′ en U m .
Visto así es claro que el carácter inducido χ ′ determina a χ, pues χ ( [a] ) se
puede calcular como χ ′( [b] ) , donde [b] es una antiimagen de [a] porf.
También es claro que si m | n | r, χ es un carácter módulo m y χ ′ es
el carácter que induce módulo n, entonces χ y χ ′ inducen el mismo carácter
módulo r. En efecto, tenemos
U r
f
−→ U n
g
−→ U m
χ
−→ C,