Teoria Numeros C Ivorra Castillo

118 Capítulo 5. Fracciones continuas
Demostración: Recordemos que el desarrollo en fracción continua se calcula
partiendo de α 0 = α y de aquí a n = E(α n ),α n+1 =1/(α n − a n ).
Por inducción es claro que −1 < ᾱ n < 0. En efecto, ᾱ n+1 =1/(ᾱ n − a n )
y admitiendo −1 < ᾱ n < 0, tenemos −1 − a n < ᾱ n − a n < −a n , con lo que
−1 < −1/(a n +1)< ᾱ n+1 < −1/a n < 0.
Ahora, despejando en α n+1 =1/(α n −a n ), tenemos que −1/ᾱ n+1 = a n −ᾱ n ,
y como 0 < −ᾱ n < 1, concluimos que a n = E(a n − ᾱ n )=E(−1/ᾱ n+1 ).
Por el teorema anterior sabemos que α m = α n para ciertos m 0, por el teorema 5.2, luego −1 < ᾱ