Teoria Numeros C Ivorra Castillo

300 Capítulo 12. Sumas de Gauss
Sea
ω = cos 2π 5 + i sen 2π 5 .
Las relaciones (ω + ω 4 )+(ω 2 + ω 3 )=(ω + ω 4 )(ω 2 + ω 3 )=−1 implican que
ω + ω 4 y ω 2 + ω 3 son las raíces del polinomio x 2 + x − 1, de donde
ω + ω 4 = −1+√ 5
2
, ω 2 + ω 3 = −1 − √ 5
.
2
De aquí que ω y ω 4 son raíces del polinomio x 2 − −1+√ 5
2
x + 1, mientras que ω 2
y ω 3 lo son de x 2 − −1−√ 5
2
x + 1, por lo que
√
√
ω = −1+√ 5
4
ω 3 = −1 − √ 5
4
+
+
√
Ahora un simple cálculo nos da que
G(χ) =ω + iω 2 − iω 3 − ω 4 = −
Observar que |G(χ)| = √ 5.
5+ √ 5
, ω 2 = −1 − √ 5
+
8
4
5 − √ 5
,
8
5 − √ √
5
, ω 4 = −1+√ 5 5+ √ 5
+ .
8
4
8
√
5 − √ 5
2
+
√
5+ √ 5
i.
2
Ejercicio: Sea χ el carácter definido por el símbolo de Legendre χ(n) =(n/5). Probar
que G(χ) = √ 5.
Ejercicio: Usar el ejemplo anterior para sumar las series
y
1 − 1 4 + 1 6 − 1 9 + 1
11 − 1 14 + 1 16 − 1 19 + ···
1
2 − 1 3 + 1 7 − 1 8 + 1
12 − 1 13 + 1 17 − 1 18 + ···
Aunque el valor de una suma de Gauss no es predecible en general, su módulo
está perfectamente determinado. Lo calculamos en el teorema siguiente, cuya
prueba contiene una interesante interpretación algebraica de las sumas de Gauss
Teorema 12.2 Todo carácter primitivo χ módulo m cumple |G(χ)| = √ m.
Demostración: Consideremos el conjunto V formado por todas las aplicaciones
f : Z/mZ −→ C. Según explicamos en el capítulo anterior, V es un
espacio vectorial sobre C que tiene como base a los caracteres de Z/mZ. Para
cada k ∈ Z/mZ sea f k el carácter determinado por f k (1) = ω −k . Las aplicaciones
f 1 ,...,f m son todos los caracteres de Z/mZ. Es importante notar que no