Teoria Numeros C Ivorra Castillo

10.2. El teorema de Kummer 257
cumple que [a] p = [ (α) ] = 1, luego el orden de [a] divide a p, pero dicho orden
ha de dividir también al orden h del grupo de clases, luego ha de ser 1, es decir,
[a] = 1 y el ideal a ha de ser principal, digamos a =(δ).
Así pues (α) =(δ p ), pero esto no garantiza que α sea una potencia p-ésima,
sino tan sólo que α = ɛδ p para una cierta unidad ciclotómica ɛ. Nos falta
justificar de algún modo que ɛ es también una potencia p-ésima. Observemos
que una condición necesaria para que un entero ciclotómico cualquiera sea una
potencia p-ésima es que sea congruente con un entero racional módulo p. En
efecto, si ɛ = η p y η = a 0 + a 1 ω + ···+ a p−1 ω p−1 , al tomar clases módulo p
queda que [ɛ] =[a 0 ] p +[a 1 ] p + ···+[a p−1 ] p .
Esta condición no es en general suficiente, y el recíproco completa las hipótesis
de Kummer:
Definición 10.2 Un primo impar p es regular si cumple:
A) p no divide al número de clases del cuerpo ciclotómico de orden p.
B) Si ɛ es una unidad ciclotómica, entonces ɛ es una potencia p-ésima si y sólo
si ɛ es congruente con un entero racional módulo p.
Con esto podemos demostrar el resultado de Kummer:
Teorema 10.3 (Kummer) El último teorema de Fermat es cierto para exponentes
regulares.
Demostración: Según las observaciones anteriores, si p es un primo regular
y suponemos que existen enteros no nulos tales que x p + y p = z p , de hecho
podemos suponer que x, y, z son primos entre sí dos a dos y que o bien p no
divide a ninguno de ellos (caso I) o bien p divide a z (caso II). En cualquier caso
tenemos la factorización
z p = x p + y p =(x + y)(x + ωy) ···(x + ω p−1 y),
En el caso I los factores son primos entre sí. En el caso II su único factor
común es el primo ω − 1.
Consideremos en primer lugar el caso I. Por la factorización única en ideales,
cada ideal (x + ω i y) es una potencia p-ésima, luego por la propiedad A) de la
definición de primo regular podemos concluir que x + ωy = ɛβ p , para una cierta
unidad ɛ y un entero ciclotómico β (ver las explicaciones previas a la definición).
Vamos a llegar a una contradicción tan sólo a partir de aquí, sin necesidad
de usar la condición B). Para ello aplicamos la conjugación que envía ω a ω −1
(que no es sino la conjugación compleja). Así obtenemos que x + ω −1 y =¯ɛ ¯β p .
Del teorema 4.27 se sigue que ɛ/¯ɛ = ω r , donde 0 ≤ r